[论文解读] New Classes of Positive Semi-Definite Hankel Tensors

Qun Wang, Guoyin Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文引入了新的正定半定汉克尔张量类，这些张量不属于强汉克尔张量，包括截断型和拟截断型汉克尔张量。证明了由绝对可积函数生成的强汉克尔张量是完全可分解的，并构造了一个不是完全可分解的SOS汉克尔张量的显式例子，从而解决了关于汉克尔张量类层次结构的一个开放问题。

ABSTRACT

A Hankel tensor is called a strong Hankel tensor if the Hankel matrix generated by its generating vector is positive semi-definite. It is known that an even order strong Hankel tensor is a sum-of-squares tensor, and thus a positive semi-definite tensor. The SOS decomposition of strong Hankel tensors has been well-studied by Ding, Qi and Wei \cite{DQW1}. On the other hand, very little is known for positive semi-definite Hankel tensors which are not strong Hankel tensors. In this paper, we study some classes of positive semi-definite Hankel tensors which are not strong Hankel tensors. These include truncated Hankel tensors and quasi-truncated Hankel tensors. Then we show that a strong Hankel tensor generated by an absoluate integrable function is always completely decomposable, and give a class of SOS Hankel tensors which are not completely decomposable.

研究动机与目标

• 识别并表征不属于强汉克尔张量的正定半定汉克尔张量的新类。
• 研究在汉克尔张量背景下，完全可分解性、强汉克尔张量与SOS分解之间的关系。
• 解决关于所有完全可分解汉克尔张量是否必为强汉克尔张量，以及截断型汉克尔张量是否完全可分解的开放问题。
• 构造SOS汉克尔张量的显式例子，这些张量不是完全可分解的，从而证明汉克尔张量类之间存在严格层次关系。

提出的方法

• 通过特定生成向量定义截断型和拟截断型汉克尔张量，其在偶数索引处具有对称的交替符号，其余位置为零。
• 利用黎曼和的极限进行SOS分解，证明某些汉克尔张量为SOS形式，利用非负权函数。
• 应用范德蒙德分解，将对称张量表示为秩一张量的和，从而为偶数阶张量建立完全可分解性。
• 通过比较齐次多项式表示中的系数构造完全可分解性的反例，表明在 $x_1^{m-2}x_2^2$ 项的系数上出现矛盾。
• 利用继承性质和极限论证，证明完全汉克尔张量的极限仍保持完全可分解性，从而建立极限下的封闭性。
• 通过离散测度的逼近方法，证明由绝对可积非负函数生成的强汉克尔张量是完全可分解的。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在不属于强汉克尔张量的正定半定汉克尔张量？
• RQ2 所有完全可分解汉克尔张量是否必为强汉克尔张量？
• RQ3 截断型汉克尔张量是否可能完全可分解？
• RQ4 是否存在不是完全可分解的SOS汉克尔张量？
• RQ5 由绝对可积非负函数生成的强汉克尔张量是否总是完全可分解的？

主要发现

• 由绝对可积非负函数生成的强汉克尔张量总是完全可分解的。
• 对于阶数 $m=2k$，$k\geq2$，$n=2$，构造了一个显式例子，即偶数阶SOS汉克尔张量，其生成向量满足 $v_0 = v_m = 1$，$v_{2l} = v_{m-2l} = -1/{m \choose 2l}$（$l=1,\ldots,k-1$），其余 $v_j=0$，该张量不是完全可分解的。
• 所构造的例子是正定半定且为SOS形式，通过将关联的齐次多项式表示为平方和的和来证明。
• 同一例子不是完全可分解的，因为在秩一分解中 $x_1^{m-2}x_2^2$ 项的系数导致负和，与非负性矛盾。
• 该例子表明SOS汉克尔张量类严格大于完全可分解汉克尔张量类。
• 本文通过证明并非所有完全可分解汉克尔张量都是强汉克尔张量，且并非所有截断型汉克尔张量都是完全可分解的，从而解决了开放问题。