[论文解读] New criterion of physical measures for partially hyperbolic diffeomorphisms

Yongxia Hua, Fan Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文通过证明典型轨道的Cesàro极限属于集合 $\operatorname{G}^u(f)$，为 $C^1$ 部分双曲微分同胚建立了物理测度的新准则，该集合满足部分熵的Pesin公式。关键结果是：对于具有一维中心的 $C^{1+}$ 微分同胚，几乎所有点要么属于具有非零中心指数的物理测度的域，要么其时间平均的中心指数为零，从而填补了在 $C^{1+\alpha}$ 设置之外的 $C^1$ 动力学中长期存在的理论空白。

ABSTRACT

We show that for any $C^1$ partially hyperbolic diffeomorphism, there is a full volume subset, such that any Cesaro limit of any point in this subset satisfies the Pesin formula for partial entropy. This result has several important applications. First we show that for any $C^{1+}$ partially hyperbolic diffeomorphism with one dimensional center, there is a full volume subset, such that every point in this set belongs to either the basin of a physical measure with non-vanishing center exponent, or the center exponent of any limit of the sequence $\frac1n\sum_{i=0}^{n-1}δ_{f^i(x)}$ is vanishing. We also prove that for any diffeomorphism with mostly contracting center, it admits a $C^1$ neighborhood such that every diffeomorphism in a $C^1$ residual subset of this open set admits finitely many physical measure, whose basins have full volume.

研究动机与目标

• 填补 $C^1$ 部分双曲微分同胚物理测度理论中的空白，现有结果仅限于 $C^{1+\alpha}$ 正则性。
• 识别一个自然候选集合 $\operatorname{G}^u(f)$——满足部分熵Pesin公式的测度——其元素是典型点经验测度弱*极限的唯一可能。
• 证明对于具有一维中心的 $C^{1+}$ 微分同胚，几乎所有点要么属于具有非零中心指数的物理测度的域，要么其时间平均的中心指数为零。
• 在大多收缩微分同胚的 $C^1$ 稀疏邻域中，建立物理测度的有限性与全体积域。

提出的方法

• 将 $\operatorname{G}^u(f)$ 定义为满足部分熵沿不稳定叶层满足Pesin公式的不变测度集合：$h_\mu(f,\mathcal{F}^u) - \int \log \det(Tf|_{E^u}) \, d\mu \geq 0$。
• 证明对任意 $C^1$ 部分双曲微分同胚，存在一个全体积子集 $\Gamma$，使得任意 $x \in \Gamma$ 的Cesàro极限均属于 $\operatorname{G}^u(f)$，利用不稳定叶的结构与体积增长控制。
• 使用一致畸变估计及围绕不稳定圆盘的环形邻域 $D_{b,n}$，控制轨道可能逃逸出典型邻域的“坏”区域的体积。
• 通过递归选择不稳定叶中圆盘的逆像来覆盖典型点，利用体积比的可求和性确保未被覆盖集合的总体积趋于零。
• 利用 $\operatorname{G}^u(f)$ 的紧致性与凸性，以及对 $C^{1+\alpha}$ 系统，Ruelle 不等式推出 $h_\mu(f,\mathcal{F}^u) - \int \log \det(Tf|_{E^u}) \, d\mu \leq 0$，因此 $\operatorname{G}^u(f)$ 捕获了等式情形。
• 利用最小不稳定叶层与负的中心李雅普诺夫指数，确保物理测度为Gibbs $u$-态，并应用该准则证明域具有全体积。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过不依赖 $C^{1+\alpha}$ 正则性或Hölder位势的准则来刻画 $C^1$ 部分双曲微分同胚的物理测度？
• RQ2 对于具有 $C^{1+}$ 正则性与一维中心的微分同胚，是否几乎所有不属于具有非零中心指数的物理测度域的点，其时间平均的中心指数为零？
• RQ3 每个属于大多收缩微分同胚的 $C^1$ 邻域中的 $C^1$ 稀疏子集的 $C^1$ 微分同胚是否都具有有限个物理测度，且每个测度的域均为全体积？
• RQ4 $\operatorname{G}^u(f)$ 是否为 $C^1$ 动力学中物理测度的自然候选集合，即使由于缺乏绝对连续性而无法直接应用Pesin公式？
• RQ5 能否利用不稳定叶上的体积增长论证，证明未被良好逆像覆盖的点集测度为零，从而确保域具有全体积？

主要发现

• 对任意 $C^1$ 部分双曲微分同胚，存在一个全体积子集 $\Gamma$，使得对任意 $x \in \Gamma$，其经验测度 $\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \delta_{f^i(x)}$ 的任意弱*极限均属于 $\operatorname{G}^u(f)$，满足部分熵的Pesin公式。
• 对具有 $C^{1+}$ 正则性与一维中心的 $C^1$ 部分双曲微分同胚，几乎所有点要么属于具有非零中心指数的物理测度的域，要么其时间平均的中心指数为零。
• 在任意大多收缩微分同胚的 $C^1$ 邻域中，$C^1$ 稀疏子集的微分同胚具有有限个物理测度，每个测度的域均为全体积。
• $\operatorname{G}^u(f)$ 对任意 $C^1$ 微分同胚总是非空、紧致且凸的，使其成为物理测度的稳健候选集合。
• 围绕不稳定圆盘的“坏”邻域体积以 $\lambda^n$ 指数衰减，其中 $\lambda = \|Tf^{-1}|_{E^u}\| < 1$，从而实现可求和性，支持矛盾论证以证明全测度覆盖。
• 通过构造逆像圆盘及其“坏”邻域，确保未被覆盖集合的不稳定体积为零，从而在稀疏情形下证明测度 $\mu$ 的域具有全体积。