[论文解读] New Generalization of Eulerian polynomials and their applications

Serkan Aracı, Mehmet Açıkgöz+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2012

Advanced Mathematical Identities参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文通过参数 $a \in \mathbb{C}$ 和 $b \in \mathbb{R}^+$，引入了一类新的两参数欧拉多项式广义形式，其定义基于指数生成函数。该研究建立了其与多对数函数、伯恩斯坦多项式、伯努利数与欧拉数、吉诺奇数以及欧拉-ζ函数之间的联系。一个关键结果是当 $a = -1$ 时的维特定理，将这些多项式与 $p$-进费米积分联系起来，并在负整数处提供了插值。

ABSTRACT

In the present paper, we introduce Eulerian polynomials with a and b parameters and give the definition of them. By using the definition of generating function for our polynomials, we derive some new identities in Theory of Analytic Numbers. Also, we give relations between Eulerian polynomials with a and b parameters, Bernstein polynomials, Poly-logarithm function, Bernoulli numbers and Euler numbers. Moreover, we see that our polynomials at a =-1 are related to Euler-Zeta function at negative inetegers. Finally, we get Witt's formula for new generalization of Eulerian polynomials which we express in this paper.

研究动机与目标

• 将欧拉多项式推广为包含复数参数 $a$ 和正实数参数 $b$ 的新两参数族。
• 探索广义多项式与特殊函数（如多对数函数、伯恩斯坦多项式及 zeta 函数）之间的联系。
• 推导广义多项式与伯努利数、欧拉数及吉诺奇数之间显式公式的关联。
• 为 $a = -1$ 时的多项式建立 $p$-进费米积分表示（即维特定理）。
• 通过欧拉-ζ函数在负整数处的插值，提供多项式在负整数点的插值表达式。

提出的方法

• 通过指数生成函数 $\sum_{n=0}^\infty \mathcal{A}_n(a,b) \frac{t^n}{n!} = \frac{1-a}{b^{t(1-a)} - a}$ 定义广义欧拉多项式 $\mathcal{A}_n(a,b)$。
• 运用生成函数技巧，推导涉及多对数函数、伯恩斯坦多项式及第二类斯特林数的恒等式。
• 通过级数展开与积分表示，建立广义多项式与经典特殊数之间的关系。
• 应用 $p$-进费米积分，推导 $\mathcal{A}_n(-1,b)$ 的维特定理，利用积分 $\int_X \upsilon^n d\mu_{-1}(\upsilon)$。
• 利用欧拉-ζ函数 $\zeta_E(s) = 2\sum_{j=1}^\infty \frac{(-1)^j}{j^s}$，将 $\mathcal{A}_n(-1,b)$ 表示为 $2^n (\ln b)^n \zeta_E(-n)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过两个参数 $a$ 和 $b$ 推广欧拉多项式，以拓展其解析与算术性质？
• RQ2 新广义欧拉多项式与经典特殊函数（如多对数函数与伯恩斯坦多项式）之间存在何种关系？
• RQ3 广义多项式能否通过显式公式与伯努利数、欧拉数及吉诺奇数建立关联？
• RQ4 $\mathcal{A}_n(-1,b)$ 的 $p$-进 $\mu_{-1}$-积分表示是什么？它如何导出维特定理？
• RQ5 当 $a = -1$ 时，$\mathcal{A}_n(-1,b)$ 的取值如何与负整数处的欧拉-ζ函数相关联？

主要发现

• 广义欧拉多项式满足 $\mathcal{A}_n(-1,b) = \frac{2^{n+1} (\ln b)^{n+1} (1 - 2^{n+1}) B_{n+1}}{n+1}$，从而将其与伯努利数联系起来。
• 当 $a = -1$ 时，多项式与吉诺奇数的关系为 $\mathcal{A}_n(-1,b) = \frac{2^{n+1} (\ln b)^{n+1} G_{n+1}}{n+1}$，其中 $G_n$ 为吉诺奇数。
• 推导出显式插值公式：$\mathcal{A}_n(-1,b) = 2^n (\ln b)^n \zeta_E(-n)$，将多项式与负整数处的欧拉-ζ函数联系起来。
• 确立了维特定理：$\mathcal{A}_n(-1,b) = (\ln b)^n 2^n \int_X \upsilon^n d\mu_{-1}(\upsilon)$，提供了 $p$-进积分表示。
• 从 $p$-进费米积分导出了生成函数 $\sum_{n=0}^\infty \mathcal{A}_n(-1,b) \frac{t^n}{n!} = \frac{2}{b^{2t} + 1}$，从而验证了维特定理。
• 证明广义多项式满足包含 $\sum_{j=0}^\infty (-1)^j e^{jt \ln b}$ 的生成函数，从而导出级数恒等式 $\mathcal{A}_n(-1,b) = 2^{n+1} (\ln b)^n \sum_{j=1}^\infty (-1)^j j^n$。