[论文解读] New P$c$N and AP$c$N functions over finite fields

Yanan Wu, Nian Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文利用分圆技术、切换法和广义AGW准则，提出了有限域上完美 $c$-非线性（P$c$N）和几乎完美 $c$-非线性（AP$c$N）函数的新构造方法。文中引入了一个P$c$N函数类和四个AP$c$N函数类，另通过AGW准则推导出四个附加类，所有函数均实现低 $c$-微分均匀性，且多个函数在仿射等价意义下被证明为新构造。

ABSTRACT

Functions with low $c$-differential uniformity were proposed in $2020$ and attracted lots of attention, especially the P$c$N and AP$c$N functions, due to their applications in cryptography. The objective of this paper is to study P$c$N and AP$c$N functions. As a consequence, we propose a class of P$c$N functions and four classes of AP$c$N functions by using the cyclotomic technique and the switch method. In addition, four classes of P$c$N or AP$c$N functions are presented by virtue of (generalized) AGW criterion.

研究动机与目标

• 在有限域上构造具有低 $c$-微分均匀性的新P$c$N与AP$c$N函数类，以增强对差分密码分析的抵抗能力。
• 通过发展基于多项式（非单项式）的P$c$N与AP$c$N函数，将现有构造方法扩展至单项式之外。
• 运用高级代数工具——特别是分圆技术、切换法和广义AGW准则——系统性地生成具有可证明 $c$-微分性质的新函数。
• 通过与已知结果比较代数次数、$c$-值和域特征，验证所构造函数的非等价性，并探讨其在仿射等价下的不变性。

提出的方法

• 利用分圆技术和切换法分析并求解 $c$-微分方程 ${}_{c}D_{a}F(x) = b$，其中 $c \in \mathbb{F}_q \setminus \{1\}$，以确保均匀性性质。
• 应用广义AGW准则，通过验证 $\phi(x)$ 在特定集合 $J$ 上的置换性以及 $\ker(\phi) \cap \mathbb{F}_q = \{0\}$，或其在 $\mathbb{F}_q$ 上为2对1映射，来构造新的P$c$N与AP$c$N函数。
• 采用结构 $F(x) = u\phi(x) + \sum_{i=1}^{t} g\left(x^q - x\right)^{(q^n - 1)/d_i}$ 生成 $c$-微分均匀性为1或2的函数。
• 利用迹函数 $\operatorname{Tr}^{q^n}_q(x)$ 和多项式复合，定义分段函数，以保持低 $c$-微分均匀性。
• 通过 $\mathbb{F}_{2^4}$ 和 $\mathbb{F}_{q^3}$ 上的显式例子验证构造结果，展示特定 $c$ 和域参数下AP$c$N行为。
• 通过代数次数、$c$-值和特征 $p$ 与已知函数比较，确认在仿射变换下非等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有限域上利用代数技术构造出超越单项式的新型P$c$N与AP$c$N函数？
• RQ2 分圆技术与切换法如何实现低 $c$-微分均匀性的函数构造？
• RQ3 广义AGW准则及其变体在系统性生成P$c$N与AP$c$N函数方面具有多大程度的适用性？
• RQ4 新构造的函数在仿射等价或CCZ等价下是否与已知函数等价，特别是对于形如 $F \circ L(x)$ 的复合，其中 $L$ 为仿射置换？
• RQ5 在AGW构造中，$\phi(x)$ 的核与像结构在确保 $c$-微分均匀性方面起何种作用？

主要发现

• 利用分圆技术和切换法，构造出一个全新的P$c$N函数类，其 $c$-微分均匀性恰好为1。
• 通过相同方法提出四个全新的AP$c$N函数类，实现 $c$-微分均匀性为2。
• 利用广义AGW准则推导出四个额外的P$c$N或AP$c$N函数类，其均匀性为1或2，具体取决于 $\phi(x)$ 和 $g(x)$ 的性质。
• 在 $\mathbb{F}_{2^4}$ 上的一个例子表明，$F(x) = x^2 + x + (x^q - x)^{(q^3 - 1)/3} + (x^q - x)^{(q^3 - 1)/5}$ 对所有 $c \in \mathbb{F}_q \setminus \{1\}$ 均为AP$c$N。
• 所构造的函数在仿射变换 $F \circ L(x)$ 下与已知函数不等价，这通过代数次数、$c$-值和域特征的差异得到确认。
• 本文证明了 $c$-微分均匀性在EA-或CCZ等价下不被保持，但在与仿射置换 $L(x)$ 复合时保持不变，这有助于验证函数的非等价性。