[论文解读] New Permutation Trinomials From Niho Exponents over Finite Fields with Even Characteristic

Nian Li, Tor Helleseth|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用 14

一句话总结

本文利用Niho指数和线性分式多项式，在偶特征有限域上提出了新的置换三元多项式类。通过在𝔽₂ⁿ上分析方程并利用线性分式变换的置换性质，作者构造了形式为f(x) = x + x^{s(2^m−1)+1} + x^{t(2^m−1)+1}的新三元多项式，推广了先前的结果，并为密码学应用提供了乘法不等价的新型构造。

ABSTRACT

In this paper, a class of permutation trinomials of Niho type over finite fields with even characteristic is further investigated. New permutation trinomials from Niho exponents are obtained from linear fractional polynomials over finite fields, and it is shown that the presented results are the generalizations of some earlier works.

研究动机与目标

• 构造𝔽₂ⁿ上形式为f(x) = x + x^{s(2^m−1)+1} + x^{t(2^m−1)+1}的新型置换三元多项式类，其中n = 2m。
• 通过利用线性分式多项式引入灵活的参数对(s,t)，推广早期关于Niho指数置换三元多项式的研究结果。
• 基于𝔽₂ⁿ中单位圆上的线性分式变换的置换行为，建立一种新方法。
• 证明新构造的三元多项式与先前已知的多项式在乘法意义下不等价，从而增强置换多项式族的多样性。
• 通过验证特定分式多项式在单位圆上的置换性质，解决先前工作中提出的两个猜想。

提出的方法

• 利用引理1，将f(x) = x^r g(x^s)的置换性质简化为在单位圆U = {x ∈ 𝔽₂ⁿ : x^{2^m+1} = 1}上h(x) = x^r g(x)^s的置换性质。
• 应用线性分式多项式φ(x) = (ax + b)/(cx + d)，其中ad + bc ≠ 0，分析特定变换下x ↦ x^{2^k}的动力学行为。
• 通过线性分式映射的递归复合，基于初始参数a和k，推导出x^{2^{ik}}关于迭代变换的恒等式。
• 推导出x^{2^{ik}} = x或x^{2^{ik}} = (e_i x + 1)/(x + e_i + 1)的条件，具体取决于e_{i−1}^{2^k} + e_1 + 1 = 0是否成立。
• 建立三元多项式置换性质与单位圆上有理函数功能行为之间的联系，特别是通过h(x) = x^r (1 + x^s + x^t)^{2^m−1}的使用。
• 利用如下事实：若h(x)在U上置换，且gcd(r,s) = 1，则f(x) = x^r g(x^s)是𝔽₂ⁿ上的置换多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用Niho指数和线性分式变换，在𝔽₂ⁿ上构造出形式为f(x) = x + x^{s(2^m−1)+1} + x^{t(2^m−1)+1}的新置换三元多项式？
• RQ2 由线性分式映射导出的参数(s,t)如何导致与已知构造相比具有新颖性的、乘法不等价的置换三元多项式？
• RQ3 m和k需满足何种条件，才能确保由三元多项式导出的有理函数h(x)在𝔽₂ⁿ的单位圆U上实现置换？
• RQ4 所提出的方法能否推广先前结果（如文献[3, 11, 14]中的结果），并解决文献中的开放猜想？
• RQ5 线性分式映射的复合在何种代数条件下，能产生x^{2^{ik}}的置换，从而实现置换三元多项式的构造？

主要发现

• 本文在n = 2m条件下，构造了𝔽₂ⁿ上两个新的置换三元多项式无限族，参数为k，其中(s,t) = (2^k/(2^k−1), −1/(2^k−1))和(s,t) = (1/(2^k+1), 2^k/(2^k+1))，条件为gcd(2^k−1, 2^m+1)=1或gcd(2^k+1, 2^m+1)=1。
• 第一族推广了文献[3]中的三元多项式，并在k=1时包含(s,t) = (2,−1)这一特例。
• 第二族推广了文献[11]中的三元多项式，并在k=1时包含(s,t) = (1/3, 2/3)这一特例。
• 所有构造的三元多项式均与先前已知的多项式在乘法意义下不等价，这通过其在单位圆上关联有理函数h(x)的不等价性得到证实。
• 该方法通过分析线性分式映射的动力学行为，成功证明了h(x)在U上的置换性质，从而导出x^{2^{ik}}满足有理变换的显式条件。
• 研究结果通过验证特定分式多项式在U上的置换行为，解决了文献[7]中的两个猜想，方法基于推导出的恒等式和条件。