[论文解读] New Quantum Algorithms for Computing Quantum Entropies and Distances

Qisheng Wang, Ji Guan+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 96被引用 9

一句话总结

本文提出了一类新的量子算法，用于计算量子熵和距离（如冯·诺依曼熵、迹距离和保真度），通过将量子奇异值变换（QSVT）扩展至密度算符。在低秩情形下，这些算法实现了指数级加速，时间复杂度分别为 $\tilde{O}(r^2/\varepsilon^2)$、$\tilde{O}(r^5/\varepsilon^6)$ 和 $\tilde{O}(r^{6.5}/\varepsilon^{7.5})$，显著优于以往方法所需的 $\Omega(N)$ 或更高查询复杂度。

ABSTRACT

We propose a series of quantum algorithms for computing a wide range of quantum entropies and distances, including the von Neumann entropy, quantum Rényi entropy, trace distance, and fidelity. The proposed algorithms significantly outperform the prior best (and even quantum) ones in the low-rank case, some of which achieve exponential speedups. In particular, for $N$-dimensional quantum states of rank $r$, our proposed quantum algorithms for computing the von Neumann entropy, trace distance and fidelity within additive error $\varepsilon$ have time complexity of $ ilde O(r/\varepsilon^2)$, $ ilde O(r^5/\varepsilon^6)$ and $ ilde O(r^{6.5}/\varepsilon^{7.5})$, respectively. By contrast, prior quantum algorithms for the von Neumann entropy and trace distance usually have time complexity $Ω(N)$, and the prior best one for fidelity has time complexity $ ilde O(r^{12.5}/\varepsilon^{13.5})$. The key idea of our quantum algorithms is to extend block-encoding from unitary operators in previous work to quantum states (i.e., density operators). It is realized by developing several convenient techniques to manipulate quantum states and extract information from them. The advantage of our techniques over the existing methods is that no restrictions on density operators are required; in sharp contrast, the previous methods usually require a lower bound on the minimal non-zero eigenvalue of density operators.

研究动机与目标

• 开发用于计算冯·诺依曼熵、迹距离和保真度等基本量子信息度量的高效量子算法。
• 克服先前量子算法对密度算符非零特征值下限的依赖。
• 将量子奇异值变换（QSVT）框架从酉算符扩展至密度算符（混合量子态）。
• 提供一种通用的、与特征值无关的密度算符及其非整数次幂变换技术。
• 建立下界，表明保真度和迹距离的多项式对数时间算法将意味着 BQP = QSZK，揭示其内在的量子困难性。

提出的方法

• 核心方法通过发展对次归一化密度算符及其非整数正幂的特征值变换技术，将QSVT扩展至密度算符。
• 提出一种新颖的基于QSVT的密度算符特征值变换协议，实现对如 $f(\lambda) = \lambda \log \lambda$（熵）和 $f(\lambda) = \sqrt{1 - \lambda^2}$（迹距离）等函数的高效计算。
• 算法利用密度算符的纯化态实现的量子查询访问，支持高效的态制备和受控操作。
• 关键技术组件包括迹估计、密度算符的线性组合，以及次归一化态的特征值阈值投影算符。
• 该框架避免了对最小非零特征值的假设，与先前方法不同，因此适用于低秩和奇异密度矩阵。
• 时间复杂度通过适配至密度算符的块编码技术推导，误差通过幅度估计和相位估计控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖特征值下限的前提下，为低秩量子态设计高效的量子算法来计算量子熵和距离？
• RQ2 是否可以将量子奇异值变换（QSVT）框架扩展至密度算符，从而实现在混合态上的特征值函数评估？
• RQ3 在低秩情形下，估计冯·诺依曼熵、迹距离和保真度的最优查询和门复杂度是多少？
• RQ4 所提出的算法能否在低秩态下相对于已知的量子和经典方法实现指数级加速？
• RQ5 保真度和迹距离估计的量子算法的基本极限是什么？它们与BQP和QSZK等复杂度类有何关联？

主要发现

• 所提出的冯·诺依曼熵量子算法达到 $\tilde{O}(r^2/\varepsilon^2)$ 的时间复杂度，相比以往需 $\Omega(N)$ 查询的方法实现了指数级改进。
• 迹距离算法的时间复杂度为 $\tilde{O}(r^5/\varepsilon^6)$，显著优于目前已知的最佳量子算法的 $\tilde{O}(r^{21.5}/\varepsilon^{23.5})$ 复杂度。
• 保真度估计算法达到 $\tilde{O}(r^{6.5}/\varepsilon^{7.5})$ 的时间复杂度，在低秩情形下优于以往方法。
• 这些算法具有与特征值无关的特性，无需对密度算符的最小非零特征值施加下限，与先前方法不同。
• 下界分析表明，任何在 $\operatorname{poly}(\log r, 1/\varepsilon)$ 时间内计算迹距离或保真度的算法都将意味着 $\mathsf{BQP} = \mathsf{QSZK}$，表明其具有强烈的量子困难性。
• 保真度和迹距离估计问题被证明为 $\mathsf{DQC1}$-难，即使在纯态情形下也成立，暗示其不可能存在高效的经典模拟。