[论文解读] Variational Quantum Algorithms for Trace Distance and Fidelity Estimation

Ranyiliu Chen, Zhixin Song+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 97被引用 62

一句话总结

该论文提出了变分迹距离估计（VTDE）和变分保真度估计（VFE）两种混合量子-经典算法，用于在无输入态先验假设的前提下，对近期量子设备上的迹距离和量子保真度进行估计。VTDE通过单个辅助量子比特和局部测量，利用酉优化估计迹范数，避免了灾难性梯度问题；VFE利用乌尔曼定理和量子态纯化，将保真度估计转化为酉优化问题，其数值验证和在IBM超导硬件上的实验均显示对混合态具有高精度。

ABSTRACT

Estimating the difference between quantum data is crucial in quantum computing. However, as typical characterizations of quantum data similarity, the trace distance and quantum fidelity are believed to be exponentially-hard to evaluate in general. In this work, we introduce hybrid quantum-classical algorithms for these two distance measures on near-term quantum devices where no assumption of input state is required. First, we introduce the Variational Trace Distance Estimation (VTDE) algorithm. We in particular provide the technique to extract the desired spectrum information of any Hermitian matrix by local measurement. A novel variational algorithm for trace distance estimation is then derived from this technique, with the assistance of a single ancillary qubit. Notably, VTDE could avoid the barren plateau issue with logarithmic depth circuits due to a local cost function. Second, we introduce the Variational Fidelity Estimation (VFE) algorithm. We combine Uhlmann's theorem and the freedom in purification to translate the estimation task into an optimization problem over a unitary on an ancillary system with fixed purified inputs. We then provide a purification subroutine to complete the translation. Both algorithms are verified by numerical simulations and experimental implementations, exhibiting high accuracy for randomly generated mixed states.

研究动机与目标

• 开发适用于近期NISQ设备上一般量子态之间迹距离与保真度估计的实用量子算法。
• 克服混合态迹距离与保真度估计的指数级经典困难与量子复杂性。
• 通过VTDE中使用局部代价函数，避免变分量子算法中的灾难性梯度问题。
• 利用乌尔曼定理与纯化子程序，实现对任意混合态的保真度估计。
• 通过数值模拟与在IBM超导硬件上的实验实现，展示高精度估计。

提出的方法

• VTDE通过在辅助量子比特上作用酉操作并利用局部测量提取谱信息，对厄米矩阵H的迹范数进行优化估计。
• 该算法基于单量子比特期望值构建代价函数，确保电路深度为对数级，避免灾难性梯度问题。
• 对于VFE，通过在辅助系统上优化酉操作，利用纯化自由度与乌尔曼定理，将保真度估计转化为酉优化问题。
• 引入一个纯化子程序，用于在NISQ设备上准备未知混合态的纯化态，对低秩态仅需少量辅助量子比特。
• 算法通过参数化量子电路（PQC）实现，使用U3与CNOT门，支持通过解析方法高效计算梯度。
• 在随机混合态上，通过IBM超导量子处理器进行数值与实验验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无输入态先验假设的前提下，是否能高效估计两个未知一般量子态之间的迹距离？
• RQ2 如何仅通过局部测量与单个辅助量子比特估计厄米矩阵的迹范数？
• RQ3 能否将任意混合态的保真度估计问题转化为对辅助系统上酉操作的变分优化问题？
• RQ4 在变分量子算法背景下，混合态纯化过程的资源开销如何？
• RQ5 由于其局部代价函数，所提出的VTDE算法是否能在浅层电路中避免灾难性梯度问题？

主要发现

• VTDE在ρ − σ的正特征值个数k不同时均表现稳定，而朴素方法在k与真实正特征值数不一致时性能显著下降。
• 朴素VTDE算法（nVTDE）需要O(k)轮优化与k个计算基态，对大k值效率低下，尤其在k = 2^n − 1的最坏情况下。
• 对于纯态，ρ − σ至多有一个正特征值，使得VTDE仅需一个秩-1投影算符，显著降低资源开销。
• VFE算法利用乌尔曼定理与纯化自由度，将保真度估计转化为对辅助系统的酉优化问题。
• 数值模拟与在IBM超导设备上的实验实现表明，VTDE与VFE在随机生成的混合态上均具有高精度。
• 当输入态为低秩时，纯化子程序仅需少量辅助量子比特，使该方法在实际应用中具备可扩展性。