[论文解读] New Volume Comparison results and Applications to degeneration of Riemannian metrics

Qi S. Zhang, Meng Zhu|arXiv (Cornell University)|May 30, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文引入了一种涉及向量场的广义里奇曲率条件，超越了Bakry-Émery条件，直接在原始流形上建立了体积比较、拉普拉斯比较和梯度估计。关键贡献在于在较弱假设下证明了体积比的几乎单调性与收敛性结果——允许势函数梯度出现奇点——从而为度量退化和里奇孤立子的新应用铺平了道路。

ABSTRACT

We consider a condition on the Ricci curvature involving vector fields, which is broader than the Bakry-Émery Ricci condition. Under this condition volume comparison, Laplacian comparison, isoperimetric inequality and gradient bounds are proven on the manifold. Specializing to the Bakry-Émery Ricci curvature condition, we initiate an approach to work on the original manifold, which yields, under a weaker than usual assumption, the results mentioned above for the {\it original manifold}. These results are different from most well known ones in the literature where the conclusions are made on the weighted manifold instead. Applications on convergence and degeneration of Riemannian metrics under this curvature condition are given. To this effect, in particular for the Bakry-Émery Ricci curvature condition, the gradient of the potential function is allowed to have singularity of order close to $1$ while the traditional method of weighted manifolds allows bounded gradient. This approach enables us to extend some of the results in the papers \cite{Co}, \cite{ChCo2}, \cite{zZh}, \cite{TZ} and \cite{WZ}. The condition also covers general Ricci solitons instead of just gradient Ricci solitons.

研究动机与目标

• 在包含向量场的更广义里奇曲率条件下发展体积比较与梯度估计，推广Bakry-Émery条件。
• 在原始流形上建立结果，而非加权流形上，避免对势函数梯度有界性的要求。
• 在比以往更弱的假设下，实现黎曼度量退化与收敛结果的推广。
• 将关于度量锥、奇异集大小以及$oldsymbol{ ho}$-分裂映射的现有结果，推广至势函数梯度无界的情形。
• 在新曲率条件下，将理论应用于一般里奇孤立子，而不仅限于梯度里奇孤立子。

提出的方法

• 引入修正的里奇曲率条件：$ ext{Ric} + rac{1}{2}ancyscript{L}_V g o - ilde{ ho} g$，其中$V$为光滑向量场，$ancyscript{L}_V g$为李导数。
• 利用广义拉普拉斯比较与线段不等式技术，在此条件下证明体积比较定理。
• 通过热核估计与截断函数，建立局部等周与Sobolev常数估计。
• 利用修正的曲率条件与过剩估计，推导梯度估计与平均值不等式。
• 应用$oldsymbol{ ho}$-分裂映射与过剩估计，分析切锥与奇异集结构。
• 通过环形体积比较与迭代不等式，证明体积比的几乎单调性，进而导出度量锥的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在允许势函数梯度无界的广义里奇曲率条件下，是否能在原始流形上建立体积比较与梯度估计？
• RQ2 修正的里奇曲率条件$ ext{Ric} + rac{1}{2}ancyscript{L}_V g o - ilde{ ho} g$是否能在不假设$| abla L|$有界的前提下，于原始流形上实现类似Bishop-Gromov的体积单调性？
• RQ3 能否将退化黎曼度量的收敛定理推广至势函数梯度奇点阶数接近1的情形？
• RQ4 在比以往已知更弱的假设下，满足广义曲率条件的流形序列的切锥是否仍为度量锥？
• RQ5 在该曲率框架下，该理论是否可应用于一般里奇孤立子，而不仅限于梯度里奇孤立子？

主要发现

• 在广义里奇曲率条件$ ext{Ric} + rac{1}{2}ancyscript{L}_V g o - ilde{ ho} g$下，即使$| abla L|$无界，也能直接在原始流形上建立体积比较定理。
• 本文在比传统加权流形方法更弱的假设下，证明了体积比$rac{ ext{Vol}(B(x,r))}{ ext{Vol}( ext{B}_{ ext{model}}(r))}$的几乎单调性，其精神与Bishop-Gromov一致。
• 对于满足曲率与几何有界条件的流形序列，证明其切锥为度量锥，扩展了[Co]、[ChCo2]、[TZ]与[WZ]的结果。
• 在广义条件下，极限空间中奇异集的大小受到控制，其上界依赖于曲率与维数。
• 该方法允许势函数中梯度奇点的阶数高达$1 - rac{1}{n}$，而经典加权流形理论要求梯度有界。
• 通过在曲率条件中直接使用向量场$V$，该结果可应用于一般里奇孤立子，而不仅限于梯度里奇孤立子。