[论文解读] No arbitrage and local martingale deflators

Yuri Kabanov, Constantinos Kardaras+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文证明，在无套利第一类（NA₁）条件下，原始概率测度的任意总变差邻域内均存在一个等价概率测度，使得严格正的局部鞅贴现因子存在。其核心贡献是将此前仅适用于单资产模型的结果推广至多维半鞅模型，表明NA₁意味着在原始测度的任意小邻域内均存在局部鞅贴现因子，即使在原始测度下此类贴现因子可能并不存在。

ABSTRACT

A supermartingale deflator (resp., local martingale deflator) multiplicatively transforms nonnegative wealth processes into supermartingales (resp., local martingales). The supermartingale numeraire (resp., local martingale numeraire) is the wealth processes whose reciprocal is a supermartingale deflator (resp., local martingale deflator). It has been established in previous literature that absence of arbitrage of the first kind (NA1) is equivalent to existence of the supermartingale numeraire, and further equivalent to existence of a strictly positive local martingale deflator; however, under NA1, the local martingale numeraire may fail to exist. In this work, we establish that, under NA1, any total-variation neighbourhood of the original probability has an equivalent probability under which the local martingale numeraire exists. This result, available previously only for single risky-asset models, is in striking resemblance with the fact that any total-variation neighbourhood of a separating measure contains an equivalent $σ$-martingale measure. The presentation of our main result is relatively self-contained, including a proof of existence of the supermartingale numeraire under NA1. We further show that, if the Levy measures of the asset-price process have finite support, NA1 is equivalent to existence of the local martingale numeraire with respect to the original probability.

研究动机与目标

• 在NA₁条件下，证明在原始概率测度的任意总变差邻域内，存在一个严格正的局部鞅贴现因子。
• 将此前仅适用于单资产模型的已知结果推广至多维半鞅框架。
• 阐明NA₁与局部鞅记账单位存在性之间的关系，尤其关注当此类记账单位在原始测度下可能不存在时的情形。
• 证明当Lévy测度具有有限支撑时，NA₁等价于在原始概率测度下存在严格正的局部鞅贴现因子。
• 提供NA₁下超鞅记账单位存在性的自洽证明，使主结果建立在基础原则上。

提出的方法

• 利用先前工作中已确立的NA₁与严格正超鞅贴现因子存在的等价性。
• 对概率测度实施扰动：对原始测度的任意总变差邻域，构造一个等价测度，使得局部鞅贴现因子存在。
• 运用随机分析技术，包括局部鞅贴现因子、二次变差以及通过指示函数截断跳跃项。
• 依赖于关键过程（如跳跃分量和二次变差项）在概率意义上的有界性，使用涉及φ(y)和ψ(y)等函数的不等式。
• 应用带截断积分核的随机积分大数定律，证明在特定条件下收敛性与紧致性。
• 应用Doob不等式与变量替换公式，控制鞅项的增长并建立一致可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多维模型中，NA₁是否蕴含在原始概率测度邻域内存在局部鞅贴现因子？
• RQ2 此前仅适用于单资产模型的局部鞅贴现因子邻域测度结果，能否推广至多资产半鞅模型？
• RQ3 在何种Lévy测度条件下，NA₁蕴含在原始测度下存在局部鞅贴现因子？
• RQ4 当原始测度下局部鞅记账单位不存在时，其与资产价格过程结构的关系如何？
• RQ5 总变差邻域在确保局部鞅贴现因子存在性方面起什么作用，尤其是在原始测度下此类贴现因子失效时？

主要发现

• 在NA₁条件下，对于原始概率测度的任意总变差邻域，均存在一个等价概率测度，使得严格正的局部鞅贴现因子存在。
• 该结果将此前已知的单资产结果推广至多维半鞅模型，确立了NA₁的稳健结构性特征。
• 当资产价格过程的Lévy测度具有有限支撑时，NA₁等价于在原始概率测度下存在严格正的局部鞅贴现因子。
• 集合{supₜ ΔRₛ I_{ΔRₛ > 2}, R ∈ R}在P下有界，意味着在NA₁下对财富过程中的大跳跃具有控制力。
• 集合{∑ₛ≤T (ΔRₛ)²/(1+ΔRₛ) I_{ΔRₛ > 2}, R ∈ R}在P下有界，证实了在NA₁下跳跃分量的可积性。
• 对截断随机积分的大数定律表明，Mⁿ_T / (Lⁿ_T)^{3/4}在P下有界，支持了在NA₁下概率收敛结果。