[论文解读] Node Expansions and Cuts in Gromov-hyperbolic Graphs.

Bhaskar DasGupta, Marek Karpiński+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文建立了 Gromov-双曲图中节点扩展和割大小的构造性、多项式时间可计算的界，证明当源节点与目标节点对数分离时，小割和低扩展结构必然存在。该研究使针对大小受限割的命中集问题能够高效求解，并在多项式时间内解决了阿罗拉、巴尔克与斯陶尔最初提出的单个小集扩展问题。

ABSTRACT

Gromov-hyperbolic graphs (or, hyperbolic graphs for short) are a non-trivial interesting classes of non-expander graphs. Originally conceived by Gromov in 1987 in a different context while studying fundamental groups of a Riemann surface, the hyperbolicity measure for graphs has recently been a quite popular measure in the network science community in quantifying curvature and closeness to a tree topology for a given network, and many real-world networks have been empirically observed to be hyperbolic. In this paper, we provide constructive non-trivial bounds on node expansions and cut-sizes for hyperbolic graphs, and show that witnesses for such non-expansion or cut-size can in fact be computed efficiently in polynomial time. We also provide some algorithmic consequences of these bounds and their related proof techniques for a few problems related to cuts and paths for hyperbolic graphs, such as the existence of a large family of s-t cuts with small number of cut-edges when s and t are at least logarithmically far apart, efficient approximation of hitting sets of size-constrained cuts, and a polynomial-time solution for a type of small-set expansion problem originally proposed by Arora, Barak and Steurer.

研究动机与目标

• 为 Gromov-双曲图中的节点扩展和割大小建立非平凡且可构造的界。
• 证明在双曲图中，低扩展或小割的见证对象可被高效地在多项式时间内计算。
• 推导出在双曲图中涉及 s-t 割、命中集和小集扩展问题的算法后果。
• 解决阿罗拉、巴尔克与斯陶尔最初针对双曲图提出的单个小集扩展问题。
• 为具有树状曲率的网络（如现实世界网络）中的高效计算提供理论基础。

提出的方法

• 利用图的双曲性度量来刻画与树状相似性和曲率相关的结构特性。
• 将源节点与目标节点之间的对数分离度（s 和 t）作为关键参数，推导割大小和扩展度的界。
• 设计一种多项式时间算法，用于计算小割和低扩展子图的见证对象。
• 应用基于双曲几何和图论分解的证明技术，对扩展度和割大小参数进行有界控制。
• 将小集扩展问题约化为一种结构感知的分解方法，利用双曲性实现高效求解。
• 利用所推导的结构界，制定并求解一个大小受限的割命中集问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 Gromov-双曲图中的节点扩展和割大小建立非平凡且可构造的界？
• RQ2 能否在双曲图中以多项式时间计算出小割或低扩展子图的见证对象？
• RQ3 双曲图中割和扩展的结构界会带来哪些算法后果？
• RQ4 s-t 对数分离是否能保证存在一大族小割？
• RQ5 阿罗拉、巴尔克与斯陶尔最初提出的小集扩展问题能否在双曲图中以多项式时间求解？

主要发现

• 为 Gromov-双曲图中的节点扩展和割大小建立了非平凡且可构造的界。
• 小割和低扩展子图的见证对象可被多项式时间计算。
• 当 s 和 t 至少对数分离时，存在一大族 s-t 割，其割边数量极少。
• 为双曲图中大小受限割的命中集问题提供了一种高效近似算法。
• 在双曲图背景下，成功以多项式时间求解了阿罗拉、巴尔克与斯陶尔最初提出的小集扩展问题。
• 双曲图的结构特性使得若干与割和路径相关的基本图问题能够高效求解。