[论文解读] Non-Gaussian quasi-likelihood estimation of SDE driven by locally stable Lévy process

H. Masuda|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 39被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对由局部稳定 Lévy 过程驱动的单变量随机微分方程（SDE）中参数系数的非高斯拟似然估计器，利用过渡密度的小时间稳定近似。该估计器在高频采样下实现了渐近混合正态性，优于在非高斯设定下不一致的常规高斯拟最大似然估计器。

ABSTRACT

We address estimation of parametric coefficients of a pure-jump Lévy driven univariate stochastic differential equation (SDE) model, which is observed at high frequency over a fixed time period. It is known from the previous study Masuda (2013) that adopting the conventional Gaussian quasi-maximum likelihood estimator then leads to an inconsistent estimator. In this paper, under the assumption that the driving Lévy process is locally stable, we extend the Gaussian framework into a non-Gaussian counterpart, by introducing a novel quasi-likelihood function formally based on the small-time stable approximation of the unknown transition density. The resulting estimator turns out to be asymptotically mixed normally distributed without ergodicity and finite moments for a wide range of the driving pure-jump Lévy process, showing much better theoretical performance compared with the Gaussian quasi-maximum likelihood estimator. Extensive simulations are carried out to show good estimation accuracy. The case of large-time asymptotics under ergodicity is briefly mentioned as well, where we can deduce an analogous asymptotic normality result.

研究动机与目标

• 解决由纯跳 Lévy 过程驱动的 SDE 在高频采样下高斯拟最大似然估计器的不一致性问题。
• 提出一种非高斯拟似然框架，以考虑由局部稳定 Lévy 噪声引起的小时间非高斯性。
• 在固定时间 horizon 的高频采样下，建立所提估计器的渐近混合正态性。
• 在遍历性条件下将理论框架扩展至大时间渐近行为，获得标准渐近正态性。
• 通过大量模拟展示所提方法在估计精度上显著优于高斯拟似然方法。

提出的方法

• 基于 SDE 未知过渡密度的小时间稳定近似，提出一种新颖的拟似然函数。
• 假设驱动 Lévy 过程为局部对称 β-稳定分布，且已知 β ∈ [1, 2)，以确保小时间非高斯行为。
• 通过最大化由稳定近似导出的非高斯拟似然函数，构造最大拟似然估计器（MLE）。
• 在高频采样（h → 0，T 固定）下，建立估计器的渐近混合正态性，其收敛速度依赖于稳定性指数 β。
• 利用鞅中心极限定理和依赖阵列的统一大数定律，推导渐近分布结果。
• 在遍历性条件下将结果扩展至大时间渐近行为，此时标准渐近正态性成立，不涉及混合正态性。

实验结果

研究问题

• RQ1 非高斯拟似然方法是否能够克服在局部稳定 Lévy 噪声驱动的高频 SDE 中高斯拟最大似然估计器的不一致性？
• RQ2 稳定性指数 β 如何影响所提框架下趋势参数估计器的收敛速度？
• RQ3 在固定时间 horizon 的高频采样下，所提估计器的渐近分布行为如何？
• RQ4 当过程具有遍历性时，所提方法在大时间渐近行为下是否仍保持一致性和渐近正态性？
• RQ5 在有限样本模拟中，非高斯拟似然估计器相较于高斯对应方法的性能表现如何？

主要发现

• 所提非高斯拟似然估计器在高频采样且 T 固定时，渐近服从混合正态分布，而高斯拟 MLE 则不一致。
• 趋势参数 α 的收敛速度为 √n h^{1−1/β}，其显式依赖于稳定性指数 β，反映了跳跃活动性的影响。
• 尺度参数 γ 的估计达到标准的 √n 收敛速度，与 β 无关，表明不同参数具有不同的收敛行为。
• 估计器的渐近方差-协方差矩阵由依赖于 β 的分量构成，涉及稳定密度及其导数的积分。
• 在遍历性及大时间渐近条件下，估计器实现标准渐近正态性，其收敛速度和极限分布与高频情形类似。
• 模拟结果证实，所提方法在估计精度上显著优于高斯拟似然方法，尤其在非高斯情形下表现更优。