[论文解读] Non-hyperbolic Iterated Function Systems: attractors and stationary measures

Edgar Matias, Lorenzo J. Díaz|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文通过聚焦于弱双曲序列（即迭代像的直径趋于零的序列），提出了一套分析非双曲迭代函数系统（IFS）的框架。它建立了此类IFS存在唯一严格吸引子的条件，并将目标集表征为编码映射下像的闭包。主要贡献在于为Barnsley-Hutchinson算子存在全局吸引不动点提供了必要且充分的条件，将经典结果拓展至非双曲设定之外。

ABSTRACT

We consider iterated function systems $\mathrm{IFS}(T_1,\dots,T_k)$ consisting of continuous self maps of a compact metric space $X$. We introduce the subset $S_{\mathrm{t}}$ of {\emph{weakly hyperbolic sequences}} $ξ=ξ_0\ldotsξ_n \ldots \in Σ_k^+$ having the property that $\bigcap_n T_{ξ_{0}}\circ\cdots\circ T_{ξ_{n}}(X)$ is a point $\{π(ξ)\}$. The target set $π(S_{\mathrm{t}})$ plays a role similar to the semifractal introduced by Lasota-Myjak. Assuming that $S_{\mathrm{t}} e \emptyset$ (the only hyperbolic-like condition we assume) we prove that the IFS has at most one strict attractor and we state a sufficient condition guaranteeing that the strict attractor is the closure of the target set. Our approach applies to a large class of genuinely non-hyperbolic IFSs (e.g. with maps with expanding fixed points) and provides a necessary and sufficient condition for the existence of a globally attracting fixed point of the Barnsley-Hutchinson operator. We provide sufficient conditions under which the disjunctive chaos game yields the target set (even when it is not a strict attractor). We state a sufficient condition for the asymptotic stability of the Markov operator of a recurrent IFS. For IFSs defined on $[0,1]$ we give a simple condition for their asymptotic stability. In the particular case of IFSs with probabilities satisfying a "locally injectivity" condition, we prove that if the target set has at least two elements then the Markov operator is asymptotically stable and its stationary measure is supported in the closure of the target set.

研究动机与目标

• 将经典双曲IFS结果拓展至同时具有压缩与扩张区域的真实非双曲系统。
• 表征缺乏全局一致压缩性的IFS中吸引子与平稳测度的结构。
• 识别Barnsley-Hutchinson算子在非双曲性下仍具有唯一全局吸引子的条件。
• 建立马尔可夫算子渐近稳定及混沌游戏收敛至目标集的充分条件。
• 澄清在非双曲设定下，目标集、其闭包与严格吸引子及Conley吸引子之间的关系。

提出的方法

• 引入集合 $ S_{\mathrm{t}} \subset \Sigma_k^+ $，即满足当 $ n \to \infty $ 时 $ \mathrm{diam}(T_{\xi_0} \circ \cdots \circ T_{\xi_n}(X)) \to 0 $ 的弱双曲序列 $ \xi $。
• 将目标集 $ A_{\mathrm{t}} = \pi(S_{\mathrm{t}}) $ 定义为序列 $ S_{\mathrm{t}} $ 在编码映射 $ \pi $ 下的像，该映射将序列映射到 $ X $ 中的点。
• 利用Barnsley-Hutchinson算子 $ \mathcal{B}_{\mathfrak{F}} $ 的连续性，分析紧集上迭代的收敛性并表征吸引子。
• 应用拓扑与测度论技术研究马尔可夫算子的渐近稳定性与平稳测度。
• 采用符号动力学与剩余集论证，证明即使在不满足完全弱双曲性时，$ S_{\mathrm{t}} \neq \emptyset $ 也蕴含 $ S_{\mathrm{t}} $ 在 $ \Sigma_k^+ $ 中为剩余集。
• 在 $[0,1]$ 上构造显式例子，展示 $ A_{\mathrm{t}} \subsetneq \overline{A_{\mathrm{t}}} $ 或 $ A_{\mathrm{t}} = \overline{A_{\mathrm{t}}} = [0,1] $ 的情形，阐明局部单射性与复合中压缩性的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非双曲IFS具有唯一严格吸引子？
• RQ2 何时目标集 $ A_{\mathrm{t}} $ 等于其像的闭包，何时其为闭包的真子集？
• RQ3 在目标集并非严格吸引子时，何种条件可保证混沌游戏收敛至目标集？
• RQ4 何时递归IFS的马尔可夫算子渐近稳定？
• RQ5 在局部单射映射的IFS中，平稳测度的支集与目标集闭包之间关系为何？

主要发现

• 若 $ S_{\mathrm{t}} \neq \emptyset $，则IFS至多存在一个严格吸引子，且存在充分条件可保证严格吸引子即为 $ A_{\mathrm{t}} $ 的闭包。
• Barnsley-Hutchinson算子具有全局吸引不动点，当且仅当 $ S_{\mathrm{t}} \neq \emptyset $ 且目标集在IFS下不变。
• 对于 $[0,1]$ 上的IFS，若映射的压缩与扩张行为满足一个简单条件，则马尔可夫算子的渐近稳定性成立。
• 当IFS满足“局部单射”条件且 $ A_{\mathrm{t}} $ 至少包含两点时，马尔可夫算子渐近稳定，其平稳测度支集位于 $ \overline{A_{\mathrm{t}}} $ 内。
• 在例6.2中，$ A_{\mathrm{t}} $ 在 $[0,1]$ 中稠密但 $ 1 \notin A_{\mathrm{t}} $，表明 $ A_{\mathrm{t}} \subsetneq \overline{A_{\mathrm{t}}} $。
• 在例6.3中，$ A_{\mathrm{t}} = [0,1] $，表明即使非弱双曲IFS，当某些复合为一致压缩时，目标集闭包仍可为全集。