[论文解读] Non-intrusive reduced order modeling of poroelasticity of heterogeneous media based on a discontinuous Galerkin approximation

Teeratorn Kadeethum, Francesco Ballarin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 109被引用 8

一句话总结

本论文提出了一种非侵入式模型降阶框架，用于在异质多孔介质中基于间断伽辽金（DG）有限元法作为全阶模型（FOM）的线性双相介质弹性力学问题。该方法结合了本征正交分解（POD）与人工神经网络（ANN），将不确定参数映射到降阶基系数，实现了相较于全阶模型六倍的加速，同时准确捕捉了由于材料非均质性引起的位移场和压力场中的尖锐间断。

ABSTRACT

We present a non-intrusive model reduction framework for linear poroelasticity problems in heterogeneous porous media using proper orthogonal decomposition (POD) and neural networks, based on the usual offline-online paradigm. As the conductivity of porous media can be highly heterogeneous and span several orders of magnitude, we utilize the interior penalty discontinuous Galerkin (DG) method as a full order solver to handle discontinuity and ensure local mass conservation during the offline stage. We then use POD as a data compression tool and compare the nested POD technique, in which time and uncertain parameter domains are compressed consecutively, to the classical POD method in which all domains are compressed simultaneously. The neural networks are finally trained to map the set of uncertain parameters, which could correspond to material properties, boundary conditions, or geometric characteristics, to the collection of coefficients calculated from an $L^2$ projection over the reduced basis. We then perform a non-intrusive evaluation of the neural networks to obtain coefficients corresponding to new values of the uncertain parameters during the online stage. We show that our framework provides reasonable approximations of the DG solution, but it is significantly faster. Moreover, the reduced order framework can capture sharp discontinuities of both displacement and pressure fields resulting from the heterogeneity in the media conductivity, which is generally challenging for intrusive reduced order methods. The sources of error are presented, showing that the nested POD technique is computationally advantageous and still provides comparable accuracy to the classical POD method. We also explore the effect of different choices of the hyperparameters of the neural network on the framework performance.

研究动机与目标

• 开发一种针对高度非均质多孔介质中线性双相弹性力学问题的快速、非侵入式模型降阶模型（ROM），以应对传统方法在处理间断与计算成本方面所面临的挑战。
• 通过显著降低在线计算时间，实现对敏感性分析、不确定性量化、优化与控制的高效支持，相较于全阶模型（FOM）具有显著优势。
• 在存在大渗透率对比导致的位移与压力场中尖锐间断时，仍能保持高精度，而此类特性常被侵入式ROM方法所忽略。
• 比较嵌套POD与经典POD在参数化双相弹性力学问题中的精度与计算效率表现。
• 评估神经网络超参数对ROM精度与鲁棒性的影响，即在将不确定参数映射到降阶系数时的表现。

提出的方法

• 全阶模型（FOM）基于内罚间断伽辽金（IPDG）有限元法，确保在高渗透率对比的非均质介质中具有局部质量守恒与计算鲁棒性。
• 对FOM生成的快照数据应用本征正交分解（POD），以构建捕捉解流形主导模态的降阶基空间。
• 对比两种POD变体：经典POD（同时压缩时间与参数域）与嵌套POD（顺序压缩时间与参数），后者显著降低离线计算成本。
• 训练人工神经网络（ANN）以将不确定输入参数（如材料属性、边界条件）映射到降阶基的系数，通过$L^2$-投影实现。
• 在在线阶段，训练好的ANN可预测未见过的参数值对应的系数，而无需修改FOM，从而实现非侵入式计算。
• 该框架遵循标准的离线-在线范式：离线阶段（FOM求解、POD处理、$L^2$投影、ANN训练），在线阶段（ANN预测、降阶解重构）。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于DG-FEM、POD与ANN的非侵入式ROM框架，能否在高度非均质介质的双相弹性力学问题中实现显著加速，同时保持高精度？
• RQ2 在参数化双相弹性力学问题中，嵌套POD相较于经典POD在精度与计算成本方面表现如何？
• RQ3 神经网络预测误差在整体ROM误差中占主导地位的程度如何？是否可通过网络架构或正则化手段有效缓解？
• RQ4 该ROM能否准确解析由极端渗透率对比引起的位移与压力场中的尖锐间断？
• RQ5 综合考虑训练与在线计算成本，该ROM框架在何种条件下会比全阶模型更具效率？

主要发现

• 所提出的非侵入式ROM框架在在线计算阶段相比全阶模型（FOM）实现了约六倍加速，且解场中的相对误差可忽略不计。
• 该框架成功捕捉了由材料非均质性引起的位移场与压力场中的尖锐间断，而此类特性在侵入式ROM方法中常被丢失。
• ROM的主要误差来源为人工神经网络（ANN）对降阶系数的预测误差，而非POD截断或$L^2$投影误差，且ANN误差比基底压缩误差高出三个数量级。
• 嵌套POD在精度上与经典POD相当，但显著降低了离线计算成本，因此在大规模参数化问题中更具效率。
• 该ROM框架的盈亏平衡点出现在约1,050至2,850次在线查询之后，意味着在重复模拟场景下该框架具备成本效益。
• 神经网络超参数调优显著影响性能，未来改进可考虑引入物理信息正则化或采用循环网络等替代架构。