[论文解读] Non left-orderability of lattices in higher rank semi-simple Lie groups

Bertrand Deroin, Sebastián Hurtado|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 46被引用 4

一句话总结

本文证明了在实半单李群中，实秩至少为二且中心有限的不可约格子不是左序的，除非它们存在到 SL(2,R) 的万有覆叠的满同态。该结果解决了 Ghys 和 Witte-Morris 长期以来的猜想，通过动力系统和边界空间上的调和测度技术，对高秩李群中的左序格子进行了完整分类。

ABSTRACT

We prove that an irreducible lattice in a real semi-simple Lie group of real rank at least two and finite center is not left-orderable.

研究动机与目标

• 对具有有限中心的高秩实半单李群中的所有不可约左序格子进行分类。
• 解决 Ghys 和 Witte-Morris 关于此类格子非左序性的猜想。
• 表征实直线上的作用（模半共轭）的存在性，将群结构与动力性质联系起来。
• 为这些格子建立圆周和直线上的左序及拓扑作用的完整分类。
• 证明此类格子不是左序的，除非它们同态满射到 SL(2,R) 的万有覆叠，使用刚性理论和测度论方法。

提出的方法

• 利用对称空间边界上的调和测度理论及其在群作用下的等变性。
• 应用泊松公式和 Furstenberg 的边界理论，将边界上的不变测度与群上的调和测度联系起来。
• 采用测度 L-传输的概念，分析群元素作用下测度的形变，利用 Lusin 定理实现可测连续性。
• 利用测度空间上测地流的全局收缩性质，在假设左序性时导出矛盾。
• 应用 Margulis 超刚性定理和 Zimmer 计划的框架，限制在直线上可能存在的作用。
• 分析格子在对称空间边界上的动力行为，特别关注在叶层的有界位移下群元素对测度的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有有限中心的高秩半单李群中，不可约格子在何种条件下是左序的？
• RQ2 高秩李群中的格子能否存在非平凡的实直线作用，且该作用不与标准作用半共轭？
• RQ3 SL(2,R) 的万有覆叠在决定此类格子的左序性中起什么作用？
• RQ4 是否存在左序的高秩格子？若存在，必须满足何种结构条件？
• RQ5 调和测度和测度的 L-传输如何约束格子在实直线上可能的作用？

主要发现

• 具有有限中心的高秩半单李群中的不可约格子不是左序的，除非它们存在到 SL(2,R) 万有覆叠的满同态。
• 若存在作用，则此类格子在实直线上的所有作用都与通过 SL(2,R) 万有覆叠的商作用半共轭。
• 左序格子的存在性意味着存在到 SL(2,R) 万有覆叠的满同态，这是一个强烈的结构约束。
• 证明依赖于调和测度的 L-传输与测地流全局收缩性之间导出的矛盾。
• 测度论分析表明，任何此类作用都要求存在统一的形变界，但这与群元素作用下流盒的增长相矛盾。
• 该结果完成了对高秩李群中左序格子的完整分类，解决了几何群论与动力系统领域长期存在的开放问题。