[论文解读] Non-semi-stable loci in Hecke stacks and Fargues' conjecture

Ildar Gaisin, Naoki Imai|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文在霍奇-牛顿可约性条件下证明了非基本拉波普-津克空间上上同调的哈里斯-维曼猜想，表明与非半稳定Hecke堆栈相关的广义钻石的紧支上同调是基本情形的抛物诱导。作为推论，通过证明非半稳定局部上同调在尖形式朗兰兹参数下消失，验证了法尔格斯猜想中GL₂情形的Hecke特征层性质。

ABSTRACT

We show the Harris--Viehmann conjecture under some Hodge--Newton reducibility condition for a generalization of the diamond of a non-basic Rapoport--Zink space at infinite level, which appears as a cover of the non-semi-stable locus in the Hecke stack. We show also that the cohomology of the non-semi-stable locus with coefficient coming from a cuspidal Langlands parameter vanishes. As an application, we show the Hecke eigensheaf property in Fargues' conjecture for cuspidal Langlands parameters in the GL(2)-case.

研究动机与目标

• 在霍奇-牛顿可约性条件下，证明非基本拉波普-津克空间上同调的哈里斯-维曼猜想。
• 证明当由尖形式朗兰兹参数扭时，Hecke堆栈中非半稳定局部的紧支上同调消失。
• 在GL₂情形下，建立法尔格斯猜想中尖形式朗兰兹参数的Hecke特征层性质。
• 在霍奇-牛顿可约性条件下，将哈里斯-维曼猜想推广至扭曲的抛物诱导情形。

提出的方法

• 构造一个广义钻石 $\mathcal{M}_{b,b^{\prime}}^{\mu}$，覆盖Hecke堆栈 $\operatorname{Hecke}_{[b],[b^{\prime}}]}^{\leq\mu}$ 中的非半稳定局部。
• 定义一个勒维子群 $L^b \subset G$，使得 $[b]$ 可从 $B(L^b)$ 中的基本元素上拉，考虑从适当勒维子群 $L \supset L^b$ 出发的抛物诱导。
• 利用三元组 $([b],[b^{\prime}],\mu)$ 上的扭曲霍奇-牛顿可约性条件，将 $\mathcal{M}_{b,b^{\prime}}^{\mu}$ 的上同调与基本情形 $\mathcal{M}_{b_0,b_0^{\prime}}^{\mu}$ 的上同调联系起来。
• 应用几何萨特定理，将 $\operatorname{IC}_\mu'$ 实现为Hecke堆栈上的层，并利用Hecke对应关系定义特征层性质。
• 利用钻石中半稳定局部的分解，证明在Hecke对应作用下，非半稳定部分的上同调消失。
• 利用 $\mathscr{F}_\varphi$ 支撑于半稳定局部的事实，并应用基变换，将特征层条件约化至半稳定局部。

实验结果

研究问题

• RQ1 当由尖形式朗兰兹参数扭时，Hecke堆栈中非半稳定局部的上同调是否消失？
• RQ2 在霍奇-牛顿可约性条件下，哈里斯-维曼猜想能否推广至扭曲的抛物诱导情形？
• RQ3 在GL₂情形下，法尔格斯猜想中的Hecke特征层性质是否对尖形式朗兰兹参数成立？
• RQ4 Hecke上推 $\overleftarrow{h}^*\mathscr{F}_\varphi \otimes \operatorname{IC}_\mu'$ 的支撑是否包含于半稳定局部？
• RQ5 $\mathcal{M}_{b,b^{\prime}}^{\mu}$ 的上同调如何与基本情形 $\mathcal{M}_{b_0,b_0^{\prime}}^{\mu}$ 的上同调相关？

主要发现

• 紧支上同调 $\mathcal{M}_{b,b^{\prime}}^{\mu}$ 同构于 $\mathcal{M}_{b_0,b_0^{\prime}}^{\mu}$ 上同调的抛物诱导，至多相差一个度数平移和扭变。
• 在霍奇-牛顿可约性条件下，$\mathcal{M}_{b,b^{\prime}}^{\mu}$ 的上同调在限制到非半稳定局部时消失。
• $\overrightarrow{h}_\natural(\overleftarrow{h}^*\mathscr{F}_\varphi \otimes \operatorname{IC}_\mu')$ 的支撑包含于半稳定局部 $\operatorname{Bun}_{G,\overline{\mathbb{F}}_q}^{\mathrm{ss}} \times \operatorname{Div}_X^1$，从而证明了关键的消失条件。
• 在GL₂情形下，法尔格斯猜想中的Hecke特征层性质成立，因为特征层条件可约化至半稳定局部。
• 分解 $\mathcal{T}_{b,\mathbb{C}_p^\flat}^{\leq\mu,\mathrm{ss}} = \coprod_{N \in 2\mathbb{Z}} \mathcal{T}_{b,b_1^N,\mathbb{C}_p^\flat}^{\leq\mu}$ 允许通过偶整数的直和分析上同调，从而导致消失。
• 结果通过证明非半稳定部分的上同调不贡献于特征层条件，从而确认了GL₂情形下的Hecke特征层性质。