[论文解读] Non-Simplicial Nerves for Two-Dimensional Categorical Structures

Nathaniel G. Watson|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文将 Duskin 的 (2,1)-范畴的单纯单纯复形构造推广至 ∆²、Γ 和 Θ₂ 上的预层范畴中的新复形，证明这些复形恰好对应满足高维内部棱锥填充条件（且填充唯一）的预层。关键贡献在于通过‘内部-肯 Γ-集’提出对对称单射 (∞,0)-范畴的组合模型，该模型被猜想与 E∞-空间等价。

ABSTRACT

The most natural notion of a simplicial nerve for a (weak) bicategory was given by Duskin, who showed that a simplicial set is isomorphic to the nerve of a $(2,1)$-category (i.e. a bicategory with invertible $2$-morphisms) if and only if it is a quasicategory which has unique fillers for inner horns of dimension $3$ and greater. Using Duskin's technique, we show how his nerve applies to $(2,1)$-category functors, making it a fully faithful inclusion of $(2,1)$-categories into simplicial sets. Then we consider analogues of this extension of Duskin's result for several different two-dimensional categorical structures, defining and analysing nerves valued in presheaf categories based on $Δ^2$, on Segal's category $Γ$, and Joyal's category $Θ_2$. In each case, our nerves yield exactly those presheaves meeting a certain "horn-filling" condition, with unique fillers for high-dimensional horns. Generalizing our definitions to higher dimensions and relaxing this uniqueness condition, we get proposed models for several different kinds higher-categorical structures, with each of these models closely analogous to quasicategories. Of particular interest, we conjecture that our "inner-Kan $Γ$-sets'' are a combinatorial model for symmetric monoidal $(\infty,0)$-categories, i.e. $E_\infty$-spaces. This is a version of the author's Ph.D. dissertation, completed 2013 at the University of California, Berkeley. Minor corrections and changes are included.

研究动机与目标

• 将 Duskin 对 (2,1)-范畴的单纯复形构造推广至新的范畴结构。
• 利用 ∆²、Γ 和 Θ₂ 上的预层范畴，为多种二维范畴结构定义复形。
• 通过高维内部棱锥的唯一填充条件，刻画这些复形。
• 提出类似于准范畴的更高范畴结构的新组合模型。
• 猜想内部-肯 Γ-集可作为对称单射 (∞,0)-范畴（即 E∞-空间）的模型。

提出的方法

• 从一个带有三元运算 χ 的集合 X 构造一个 2-范畴 Bic(X)，使用 Glenn 表格编码复合运算。
• 将 Duskin 复形 N(Bic(X,χ)) 定义为一个单纯集，其在维度 ≥3 时满足内部棱锥填充的唯一性。
• 为 Verity 双范畴（VDCs）引入双单纯复形，将其映射至满足内部-肯条件的双单纯集。
• 为对称单射群胚定义 Γ-复形，从而得出‘内部-肯 Γ-集’作为 E∞-空间候选模型。
• 使用 Joyal 的范畴 Θ₂ 构造一个胞状复形，定义一个复杂的 2-范畴 FBic(X)，并证明其与满足广义内部-肯条件的 Θ₂-集之间存在等价关系。
• 将棱锥填充条件推广至更高维度，并放宽唯一性要求，以建模多种更高范畴结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 Duskin 对 (2,1)-范畴的复形构造能否推广至 ∆²、Γ 和 Θ₂ 等其他预层范畴？
• RQ2 在 ∆²、Γ 和 Θ₂ 上的预层中，何种刻画条件对应于二维范畴结构的复形？
• RQ3 是否存在基于满足内部-肯条件的 Γ-集的对称单射 (∞,0)-范畴的组合模型？
• RQ4 Verity 双范畴与复杂 2-范畴的复形与其底层结构之间有何关系？
• RQ5 能否将具有唯一填充的棱锥填充条件推广至建模超越准范畴的更高范畴结构？

主要发现

• Duskin 复形为 (2,1)-范畴到单纯集的全忠实嵌入，其特征为维度 ≥3 时内部棱锥填充唯一。
• Verity 双范畴的双单纯复形产生一个满足内部-肯条件的双单纯集，且复形与双范畴构造之间存在自然同构。
• 对称单射群胚的 Γ-复形产生一个内部-肯 Γ-集，本文猜想其为 E∞-空间的模型。
• Θ₂-复形构造建立了满足广义内部-肯条件的复杂 2-范畴与 Θ₂-集之间的等价关系。
• 本文证明了复形与分类函子（N 与 Bic，N 与 Vdc，Nθ 与 FBic）构成范畴之间的互逆等价。
• 证明了内部-肯 Γ-集的构造与对称单射结构相容，支持其作为 E∞-空间模型的猜想。