[论文解读] Noncoercive Lyapunov functions for input-to-state stability of infinite-dimensional systems
本文证明了非强制性李雅普诺夫函数的存在性可推出一大类无限维系统的范数到积分输入-状态稳定性（ISS），在较弱的正则性条件下，这进一步意味着完整的ISS。作者为具有无界输入算子的线性系统（包括具有狄利克雷边界控制的热方程）提供了此类李雅普诺夫函数的显式构造，这是首次使用李雅普诺夫方法对该系统实现此类构造。
We consider an abstract class of infinite-dimensional dynamical systems with inputs. For this class, the significance of noncoercive Lyapunov functions is analyzed. It is shown that the existence of such Lyapunov functions implies norm-to-integral input-to-state stability. This property in turn is equivalent to input-to-state stability, if the system satisfies certain mild regularity assumptions. For a particular class of linear systems with unbounded admissible input operators, explicit constructions of noncoercive Lyapunov functions are provided. The theory is applied to a heat equation with Dirichlet boundary conditions.
研究动机与目标
- 探究在无限维系统中常见的非强制性李雅普诺夫函数是否可蕴含输入-状态稳定性（ISS）。
- 将现有的ISS表征方法扩展至具有无界输入算子的系统，包括边界控制系统。
- 为具有 $\infty$-容许输入算子的线性系统提供非强制性ISS李雅普诺夫函数的显式构造。
- 通过为具有狄利克雷边界控制的热方程构造李雅普诺夫函数，展示理论的适用性。
提出的方法
- 作者定义了一类包含由半群控制的系统的前向完备无限维控制系统的广义类。
- 他们引入了范数到积分ISS的概念，这是一种较弱的稳定性概念，与非强制性李雅普诺夫函数相关联。
- 使用无穷小生成元在零处的预解算子作为候选算子 $P$，他们构造了李雅普诺夫函数 $V(x) = -\langle A^{-1}x, x\rangle_X$。
- 他们证明了若该 $V$ 是一个非强制性李雅普诺夫函数，则系统为范数到积分ISS。
- 他们在较弱正则性假设下建立了范数到积分ISS与完整ISS之间的等价性：系统在原点附近流连续且有限时间可达集有界。
- 他们将该理论应用于一维热方程的狄利克雷边界控制，验证了ISS估计并显式构造了李雅普诺夫函数。
实验结果
研究问题
- RQ1在强制性不成立时，非强制性李雅普诺夫函数是否可蕴含无限维系统中的输入-状态稳定性？
- RQ2在何种条件下，范数到积分ISS可推出完整的输入-状态稳定性？
- RQ3如何为具有无界输入算子的线性系统显式构造非强制性李雅普诺夫函数？
- RQ4是否可在此框架下为具有狄利克雷边界控制的热方程构造ISS李雅普诺夫函数？
- RQ5零处预解算子在为解析半群构造此类李雅普诺夫函数中起什么作用？
主要发现
- 非强制性李雅普诺夫函数的存在性可推出一大类无限维系统的范数到积分ISS。
- 若系统在原点附近的流连续且有限时间可达集有界，则范数到积分ISS与完整ISS等价。
- 对于具有 $\infty$-容许输入算子的线性系统，李雅普诺夫函数 $V(x) = -\langle A^{-1}x, x\rangle_X$ 是非强制性的，并在生成元 $A$ 满足适当的谱条件时蕴含ISS。
- 为一维热方程与狄利克雷边界控制构造的李雅普诺夫函数是首次使用李雅普诺夫方法实现的此类显式构造。
- 本文为具有次正规生成元的解析系统提供了一套系统化的非强制性ISS李雅普诺夫函数构造框架。
- 该方法适用于传统强制性李雅普诺夫函数失效的系统，为无限维系统中的稳定性分析提供了一种可行的替代方案。
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