[论文解读] Noncommutative quantum mechanics as a constrained system

Alexei A. Deriglazov|ArXiv.org|Dec 7, 2001

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文证明了非交换量子力学（NQM）源自在扩展配置空间中对第二类约束系统的正则化。通过引入辅助变量和第二类约束的拉格朗日作用量，狄拉克括号方法自然地导出非交换位置括号，从而实现对原始非交换变量的直接量子化，无需依赖Moyal星积。

ABSTRACT

It is shown that quantum mechanics on noncommutative spaces (NQM) can be obtained by the canonical quantization of some underlying second class constrained system formulated in extended configuration space. It leads, in particular, to an intriguing possibility of quantization in terms of the initial (noncommutative) variables. Two different formulations are discissed. The first one is appropriate for at most quadratic potential. The noncommutativity parameter and rank of matrix of the constraint brackets depend on the potential. It explains appearance of two phases of the resulting NQM. The second formulation is appropriate for an arbitrary potential. In both cases the corresponding Lagrangian action is presented and quantized, which leads to quantum mechanics with ordinary product replaced by the Moyal product.

研究动机与目标

• 建立基于第二类约束系统的非交换量子力学（NQM）的正则框架。
• 解决以原始非交换变量而非变换后的交换变量来量化NQM的挑战。
• 提供一种拉格朗日形式，可重现具有任意势能的NQM，避免高阶导数作用量。
• 表明标准Moyal乘积形式自然地从约束系统的狄拉克括号量子化中涌现。
• 使替代的量子化方案（如第一类约束量子化或规范固定）能直接应用于非交换变量。

提出的方法

• 在扩展配置空间中构造一个包含变量 $x_a$ 和辅助变量 $v_a$ 的拉格朗日作用量，引入类似陈-西蒙斯的项和势能项。
• 从哈密顿形式中识别出初级和次级第二类约束 $G_a = p_a + 2 heta^{-1}_{ab}v_b = 0$ 和 $T_a = \tilde{p}_a - 2 heta^{-1}_{ab}v_b = 0$。
• 构建狄拉克括号以消除非物理自由度，得到非平凡的 $\{x_a, x_b\}_D = \theta \epsilon_{ab}$，从而重现非交换结构。
• 推导出以 $x_a$ 和 $p_a$ 表示的物理哈密顿量，表明对于二次势能，势能项被一个与 $\partial_a U \partial_a U$ 成比例的修正项所取代。
• 对于一般势能，通过省略 $\dot{v}^2$ 项来简化作用量，确保初级约束仅依赖于 $v_a$，避免依赖导数的括号。
• 对狄拉克括号代数应用标准正则量子化，恢复标准NQM中的Moyal乘积，或实现对原始非交换变量的直接量子化。

实验结果

研究问题

• RQ1 非交换量子力学能否从约束力学系统的正则化中导出？
• RQ2 在第一阶拉格朗日形式中，第二类约束如何导致非交换结构 $\{x_a, x_b\} = \theta \epsilon_{ab}$ 的出现？
• RQ3 是否可能直接以原始非交换变量 $x_a$ 为基础对NQM进行量子化，而无需使用标准星积形式？
• RQ4 辅助变量 $v_a$ 在生成非交换性以及确保任意势能下的一致性方面起什么作用？
• RQ5 能否对约束NQM系统应用替代的量子化方案，如第一类约束量子化或规范固定？

主要发现

• 非交换参数 $\theta$ 被动态生成为 $\theta = \bar{\theta} \cdot \det^{-1}(1 - \frac{m\bar{\theta}^2}{4} \partial\partial U)$，其依赖于势能的二阶导数。
• 对于二次势能，物理哈密顿量变为 $H_{\text{ph}} = \frac{1}{2m}\tilde{p}^2 - \frac{m\bar{\theta}^2}{8} \partial_a U \partial_a U + U(F^{-1}(\tilde{x} - \frac{1}{2}\theta \tilde{p}))$，其中包含一个重整化的有效势能。
• 由于 $\theta$ 依赖于势能，系统表现出两种不同的相，当分母中的行列式为零时发生相变。
• 对于一般势能，作用量 $S = \int d\tau [2(\dot{v}-\dot{x})\theta^{-1}v - \frac{2}{m\bar{\theta}^2}v^2 - V(x)]$ 可重现正确的NQM，满足 $\{x_a, x_b\} = \theta \epsilon_{ab}$，且哈密顿量中自然出现标准Moyal乘积。
• 正则变量 $\tilde{x}_a = x_a + \frac{1}{2}\theta_{ab}p_b$，$\tilde{p}_a = p_a$ 恢复了标准NQM形式，其中包含Moyal乘积，证明了等价性。
• 该形式允许通过第一类约束量子化（如将 $G_a = 0$ 作为波函数上的条件）实现对非交换变量的直接量子化，从而完全绕过星积。