[论文解读] Nondeterministic quantum communication complexity: the cyclic equality game and iterated matrix multiplication

Harry Buhrman, Matthias Christandl+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文证明了在多参与者非确定性量子广播模型中，布尔函数的量子通信复杂度等于其关联张量的秩支持的对数。该文证明了该模型下的对数秩猜想，引入了与迭代矩阵乘法相关的循环等式问题，并利用施特拉斯滕的激光法和杨扁平化方法，证明了奇数名玩家存在非平凡协议，从而为矩阵乘法指数提供了新界限。

ABSTRACT

We study nondeterministic multiparty quantum communication with a quantum generalization of broadcasts. We show that, with number-in-hand classical inputs, the communication complexity of a Boolean function in this communication model equals the logarithm of the support rank of the corresponding tensor, whereas the approximation complexity in this model equals the logarithm of the border support rank. This characterisation allows us to prove a log-rank conjecture posed by Villagra et al. for nondeterministic multiparty quantum communication with message-passing. The support rank characterization of the communication model connects quantum communication complexity intimately to the theory of asymptotic entanglement transformation and algebraic complexity theory. In this context, we introduce the graphwise equality problem. For a cycle graph, the complexity of this communication problem is closely related to the complexity of the computational problem of multiplying matrices, or more precisely, it equals the logarithm of the asymptotic support rank of the iterated matrix multiplication tensor. We employ Strassen's laser method to show that asymptotically there exist nontrivial protocols for every odd-player cyclic equality problem. We exhibit an efficient protocol for the 5-player problem for small inputs, and we show how Young flattenings yield nontrivial complexity lower bounds.

研究动机与目标

• 刻画多参与者非确定性量子广播模型中布尔函数的量子通信复杂度。
• 解决维拉格拉等人针对该模型消息传递变体提出的对数秩猜想。
• 通过张量支持秩将循环等式问题的复杂度与迭代矩阵乘法联系起来。
• 利用代数技术开发k名玩家循环等式问题的新协议与下界。
• 利用量子通信复杂度工具建立矩阵乘法指数ωk的定量界限。

提出的方法

• 定义一个量子广播模型，其中参与者通过共享类似GHZ的纠缠态来模拟通信，复杂度以广播次数衡量。
• 证明函数f的量子复杂度等于log₂(supp-rank(T))，其中T是与f对应的张量。
• 利用支持秩表征，将量子通信复杂度与渐近纠缠态转换及代数复杂度理论联系起来。
• 引入k名玩家的图状等式问题，聚焦于环图Ck，并将循环等式张量IMMₙᵏ定义为n×n×n×n×n索引上的五阶张量。
• 对循环等式张量应用施特拉斯滕的激光法，推导出奇数k下通信复杂度的渐近上界。
• 利用杨扁平化方法，推导出奇数k ≥ 3下量子复杂度的非平凡下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多参与者量子广播模型中，量子通信复杂度与张量支持秩之间的确切关系是什么？
• RQ2 当玩家数量k为奇数时，循环等式问题是否存在非平凡的量子协议？
• RQ3 循环等式问题的复杂度如何与迭代矩阵乘法的复杂度相关联？
• RQ4 对于5名玩家的循环等式问题，其量子通信复杂度的最紧致上界与下界是什么？
• RQ5 代数技术如施特拉斯滕的激光法与杨扁平化方法能否改进矩阵乘法指数ωk的界限？

主要发现

• 在广播模型中，布尔函数的量子通信复杂度恰好等于其关联张量支持秩的对数。
• 对于k名玩家的消息传递模型，复杂度最多比广播模型高k−1倍，且该界是紧致的。
• 对于奇数k ≥ 3，通过将施特拉斯滕的激光法应用于迭代矩阵乘法张量，证明了循环等式问题存在非平凡量子协议。
• 为5名玩家的循环等式问题构造了一个显式量子协议，适用于小输入，展示了非平凡的效率。
• 杨扁平化方法为奇数k ≥ 3的量子复杂度提供了非平凡下界，证实了非经典界限之外存在非平凡协议。
• 矩阵乘法指数ω₅的上界为4.84438，由不等式ω₅ ≤ log_q((q+1)^5 / 2)导出，优于大q值下的经典界5。