[论文解读] Nonlinear asymptotic stability of compressible vortex sheets with viscosity effects

Feimin Huang, Zhouping Xin+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2023

Navier-Stokes equation solutionsMathematics被引用 3

一句话总结

该论文通过构建一种在 $L^\frown\text{infty}$-范数下对小扰动保持稳定的粘性波近似，证明了在存在粘性的情况下，可压缩涡流片的非线性渐近稳定性，无论涡流片振幅如何。该分析采用一种量身定制的假设（ansatz）以抵消空间振荡，并结合伽利略变换以实现反导数估计，从而获得最优衰减速率。

ABSTRACT

This paper concerns the stabilizing effect of viscosity on the vortex sheets. It is found that although a vortex sheet is not a time-asymptotic attractor for the compressible Navier-Stokes equations, a viscous wave that approximates the vortex sheet on any finite time interval can be constructed explicitly, which is shown to be time-asymptotically stable in the $ L^\infty $-space with small perturbations, regardless of the amplitude of the vortex sheet. The result shows that the viscosity has a strong stabilizing effect on the vortex sheets, which are generally unstable for the ideal compressible Euler equations even for short time [26,8,1]. The proof is based on the $ L^2 $-energy method.In particular, the asymptotic stability of the vortex sheet under small spatially periodic perturbations is proved by studying the dynamics of these spatial oscillations. The first key point in our analysis is to construct an ansatz to cancel these oscillations. Then using the Galilean transformation, we are able to find a shift function of the vortex sheet such that an anti-derivative technique works, which plays an important role in the energy estimates. Moreover, by introducing a new variable and using the intrinsic properties of the vortex sheet, we can achieve the optimal decay rates to the viscous wave.

研究动机与目标

• 研究粘性对可压缩涡流片的稳定作用，这些涡流片在理想欧拉方程下是不稳定的。
• 构造一种粘性波，使其在任意有限时间区间内近似于涡流片。
• 证明该粘性波在 $L^\frown\text{infty}$-空间中对小扰动具有时间渐近稳定性。
• 通过利用涡流片的内在性质及一种新颖的变量变换，实现粘性波的最优衰减速率。
• 通过精心设计的假设与位移函数，解决扰动中空间振荡的挑战。

提出的方法

• 构造一个假设以抵消围绕涡流片的小扰动所引起的周期性空间振荡。
• 应用伽利略变换以移动涡流片，从而在能量估计中启用反导数技术。
• 引入一个新变量，以利用涡流片的内在性质并改进能量估计。
• 使用 $L^2$-能量方法控制高阶导数并推导衰减估计。
• 采用加权范数与时间衰减估计，以处理界面附近的行为奇异性。
• 结合点态估计与积分估计，实现在 $L^\frown\text{infty}$-范数下的最优衰减速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 粘性能否稳定在欧拉方程下非线性不稳定的可压缩涡流片？
• RQ2 是否存在一种粘性波近似，使得涡流片在 $L^\frown\text{infty}$-范数下对小扰动保持稳定？
• RQ3 如何有效抵消扰动中的空间振荡，以实现能量估计？
• RQ4 在存在粘性的条件下，粘性波向涡流片的最优衰减速率是什么？
• RQ5 $L^2$-能量方法能否被调整以处理涡流片问题中非线性和退化结构的复杂性？

主要发现

• 粘性对可压缩涡流片具有显著的稳定作用，使其在 $L^\frown\text{infty}$-范数下实现非线性渐近稳定，尽管其在欧拉系统中原本不稳定。
• 可以显式构造一种粘性波，使其在任意有限时间区间内近似涡流片。
• 该粘性波在任意原始涡流片振幅下，对小扰动均具有时间渐近稳定性。
• $L^2$-能量方法结合伽利略变换与反导数技术，能够有效控制高阶导数并实现最优衰减速率。
• 通过使用位移函数与新变量，可实现振荡项的抵消，并提高能量估计的正则性。
• 实现了粘性波的最优衰减速率，其衰减速率与纳维-斯托克斯方程的底层抛物结构所预期的一致。