[论文解读] Nonlinear Connections and Clifford Structures

Sergiu I. Vacaru, Nadejda A. Vicol|arXiv (Cornell University)|May 17, 2002

Advanced Differential Geometry Research参考文献 42被引用 4

一句话总结

本文提出了一套针对配备非线性联络与克利福德结构的高阶向量丛与余向量丛的几何框架，实现了在具有通用局域各向异性的空间中对旋量与旋量场的严格表述。核心贡献在于构建了自然适配于非线性联络几何的特殊（d-）克利福德代数与d-旋量丛，从而在各向异性空间中推广了爱因斯坦–嘉当方程与狄拉克方程，适用于高阶芬斯ler类引力及物质场相互作用。

ABSTRACT

We present an introduction to the geometry of higher order vector and co--vector bundles (including higher order generalizations of the Finsler geometry and Kaluza--Klein gravity) and review the basic results on Clifford and spinor structures on spaces with generic local anisotropy modeled by higher order nonlinear connections. Geometric applications in locally anisotropic gravity and matter field interactions are considered. This article contains a part of material given by these authors and P. Stavrinos in theirs lectures.

研究动机与目标

• 发展高阶向量丛与余向量丛的非线性联络下的一致微分几何。
• 利用克利福德结构，在具有通用局域各向异性的空间中建立旋量与旋量场的严格数学框架。
• 将爱因斯坦–嘉当方程与狄拉克场方程推广至具有非零挠率与自旋密度的高阶各向异性空间。
• 在d-联络与d-张量形式体系中统一芬斯勒类几何、旋量结构与引力理论。
• 将旋量技术拓展至高阶各向异性空间，包括旋量场方程中的d-挠率与d-曲率。

提出的方法

• 构建配备非线性（N-）联络的高阶向量丛与余向量丛，推广芬斯勒与拉格朗日几何。
• 定义与非线性联络结构相容的特殊（d-）联络与d-度量，适用于高阶丛。
• 通过配备非线性联络的向量丛上的特殊模结构，引入d-克利福德代数与d-旋量丛。
• 推导各向异性空间上d-旋量场的d-协变导数与因菲尔德–范德瓦耳登系数。
• 利用d-张量与d-旋量指标，将爱因斯坦–嘉当方程与狄拉克方程重述为d-旋量形式。
• 应用微扰理论，推导质量为零的d-张量场（引力子）在局域各向异性背景上的费尔齐–泡利方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有通用局域各向异性的高阶各向异性空间中严格定义旋量结构？
• RQ2 非线性联络在向量丛上诱导特殊克利福德与旋量结构中起何作用？
• RQ3 在具有非零挠率与自旋密度的高阶各向异性空间中，广义爱因斯坦–嘉当方程如何产生？
• RQ4 狄拉克方程与杨–米尔斯理论在局域各向异性空间中的d-旋量形式为何？
• RQ5 高阶各向异性引力子在具有d-挠率与曲率的背景中如何传播？

主要发现

• 由非线性联络与度量自然诱导出高阶向量丛上的特殊克利福德代数结构，实现一致的旋量微积分。
• d-联络曲率与d-挠率以N-联络分量与d-联络系数显式表示，推广了黎曼曲率。
• 广义爱因斯坦–嘉当方程通过因菲尔德–范德瓦耳登系数将d-张量指标转换为d-旋量指标，重写为d-旋量形式。
• 在d-旋量形式中，能量-动量d-张量满足包含d-挠率与自旋密度的守恒律，反映各向异性空间中的非对称应力-能量。
• 高阶各向异性引力子满足包含d-张量曲率项与d-规范条件的费尔齐–泡利方程，将线性化引力推广至各向异性背景。
• 该框架通过将d-克利福德与d-旋量结构拓展至高阶丛，统一了广义芬斯勒、拉格朗日与哈密顿几何。