[论文解读] Nonlinear Data-Enabled Prediction and Control

Yingzhao Lian, Colin N. Jones|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2021

Control Systems and Identification参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文通过将系统动态嵌入再生核希尔伯特空间（RKHS）中，将Willems的 fundamental lemma 扩展至非线性系统，实现了通过核化线性泛函进行数据驱动的预测与预测控制。关键贡献是在RKHS的对偶空间中对非线性动态进行核化表征，经由理论分析与数值实现验证。

ABSTRACT

The Willems' fundamental lemma, which characterizes linear dynamics with measured trajectories, has found successful applications in controller design and signal processing, which has driven a broad research interest in its extension to nonlinear systems. In this work, we propose to apply the fundamental lemma to a reproducing kernel Hilbert space in order to extend its application to a class of nonlinear systems and we show its application in prediction and in predictive control.

研究动机与目标

• 解决现有非线性系统数据驱动方法中缺乏对系统模型结构显式假设或全状态测量的需求。
• 通过RKHS中的泛函分析，将Willems的fundamental lemma——原适用于线性时不变系统——扩展至非线性动态。
• 利用测量轨迹实现非线性系统数据驱动的预测控制与系统响应预测。
• 为RKHS对偶空间中的核化线性动态提供理论基础，确保其存在性与数值可行性。
• 通过将非线性动态表述为再生核空间中的线性泛函，弥合行为系统理论与Koopman算子理论之间的鸿沟。

提出的方法

• 将非线性系统动态建模为作用于RKHS对偶空间中评价泛函的线性算子。
• 将输入与输出轨迹表示为RKHS对偶空间 $H_u^*$, $H_y^*$, 和 $H_x^*$ 中的评价泛函序列。
• 利用堆叠的评价泛函构建Hankel矩阵以捕捉系统轨迹，并应用Willems fundamental lemma的核化版本。
• 将系统表述为对偶空间中的线性动态系统：$f_{i+1} = \mathcal{A}f_i + \mathcal{B}E_{u_i}$, $E_{y_i} = \mathcal{C}f_i + \mathcal{D}E_{u_i}$，其中 $f_i \in H_x^*$。
• 利用Riesz表示定理确保有界评价泛函的存在性，并定义输入与输出空间的核函数 $k_u(\cdot,\cdot)$, $k_y(\cdot,\cdot)$。
• 通过分析RKHS框架下线性算子 $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{D}$ 的存在性与性质，确保数值可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过泛函分析框架将Willems的fundamental lemma扩展至非线性系统？
• RQ2 如何在RKHS的对偶空间中将系统动态表示为线性泛函，以实现数据驱动控制？
• RQ3 在何种条件下可确保RKHS对偶空间中核化线性动态的存在性与数值可处理性？
• RQ4 该核化表述在多大程度上可支持非线性系统中准确的预测与预测控制？
• RQ5 与现有需要显式模型结构或全状态知识的数据驱动方法相比，该方法有何优势？

主要发现

• 本文通过将轨迹嵌入再生核希尔伯特空间的对偶空间，建立了非线性系统动态的核化表征。
• 证明了在持续激励条件下，评价泛函Hankel矩阵的列空间可张成所有可能的$L$-步轨迹，从而将Willems的fundamental lemma扩展至非线性系统。
• 该方法可在无需显式系统模型知识或全状态测量的情况下，实现数据驱动的预测控制与系统响应预测。
• 理论分析证实了RKHS对偶空间中有界线性算子 $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{D}$ 的存在性，确保数学一致性。
• 讨论了数值实现的考虑因素，包括核选择的作用以及无限维泛函的有限维近似。
• 该工作的扩展版本（包含更多证明与示例）可在arXiv上获取（arXiv:2102.06553）。