[论文解读] Nonlinear Lévy Processes and their Characteristics

Ariel Neufeld, Marcel Nutz|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 7

一句话总结

该论文通过Skorohod空间上的次线性期望构造具有给定特征的非线性Lévy过程，其中典范过程具有平稳独立增量，且非线性生成元定义为一组Lévy三元组中经典Lévy生成元的上确界。关键贡献在于，该过程的泛函满足完全非线性偏积分微分方程（PIDE），从而实现了跳跃动态中Knight不确定性（Knightian uncertainty）的可处理建模。

ABSTRACT

We develop a general construction for nonlinear Lévy processes with given characteristics. More precisely, given a set $Θ$ of Lévy triplets, we construct a sublinear expectation on Skorohod space under which the canonical process has stationary independent increments and a nonlinear generator corresponding to the supremum of all generators of classical Lévy processes with triplets in $Θ$. The nonlinear Lévy process yields a tractable model for Knightian uncertainty about the distribution of jumps for which expectations of Markovian functionals can be calculated by means of a partial integro-differential equation.

研究动机与目标

• 开发一种广义的概率构造方法，用于构建具有预设局部特征的非线性Lévy过程。
• 在Skorohod空间上定义一个次线性期望，使得在Knight不确定性下，典范过程具有平稳且独立的增量。
• 建立该过程的生成元对应于一组Lévy三元组上经典Lévy生成元的上确界。
• 通过具有粘性解性质的完全非线性PIDE，刻画马尔可夫泛函的期望。

提出的方法

• 将次线性期望构造为一组Lévy三元组( b, c, F )索引的经典期望的上确界，其中索引集为Θ。
• 在该次线性期望下，将非线性Lévy过程定义为Skorohod空间上的典范过程。
• 通过验证次线性期望的半群性质，确保该过程具有平稳且独立的增量。
• 利用在Θ中演化的局部本地局部鞅特征（B, C, ν）来定义基础概率测度。
• 证明形如v(t,x) = E[ψ(x+X_t)]的泛函满足完全非线性PIDE：v_t - sup_{(b,c,F)∈Θ} [b·v_x + ½tr(c v_xx) + ∫(v(t,x+z)−v(t,x)−v_x h(z)) F(dz)] = 0。
• 在Θ满足可积性与正则性条件（包括(1.3)与(1.4)）下，证明解的唯一性及粘性解性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个非线性Lévy过程，使其生成元为给定Lévy三元组集合中经典Lévy生成元的上确界？
• RQ2 在何种条件下，该过程的马尔可夫泛函期望满足完全非线性PIDE？
• RQ3 如何通过具有平稳独立增量的次线性期望框架，对跳跃分布中的Knight不确定性进行建模？
• RQ4 对集合Θ的何种正则性与可积性条件可确保关联PIDE的粘性解性质？

主要发现

• 所构造的非线性Lévy过程在次线性期望下具有平稳且独立的增量，推广了经典Lévy过程。
• 形如v(t,x) = E[ψ(x+X_t)]的泛函被刻画为完全非线性PIDE（1.2）的唯一粘性解。
• Θ上的条件(1.3)与(1.4)——即总变差有界且小跳跃的统一可积性——确保了解的存在性与正则性。
• 证明依赖于半鞅特征的细致分析，以及对跳跃部分截断积分的收敛性分析，特别是通过泰勒展开与F(dz)的统一有界性。
• 通过在|z|≤1、1<|z|≤N与|z|>N上对积分进行统一控制，建立了非线性生成元G及其逼近G^κ的收敛性，确保了连续性与稳定性。
• 通过验证条件(C1)–(C9)，包括增量的统一连续性与有界性，验证了粘性解框架的有效性，这些条件对比较原理至关重要。