[论文解读] Tightness, weak compactness of nonlinear expectations and application to CLT

Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2010

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 14被引用 25

一句话总结

本文引入了非线性期望族的紧性概念，并在次线性期望空间中建立了弱紧性，从而为模型不确定性下的中心极限定理（CLT）提供了新的概率论证明。该方法依赖于随机分析和偏微分方程的粘性解理论，为先前基于PDE的证明提供了一种构造性替代方案，并实现了退化非线性PDE数值格式的收敛性分析。

ABSTRACT

In this paper we introduce a notion of tightness for a family of nonlinear expectations and show that the tightness can be applied to obtain weak compactness in a framework of nonlinear expectation space. This criterion is very useful for obtaining the weak convergence for a sequence of nonlinear expectations, which is a equivalent to the so-called convergence in distribution, or in law for a sequence of random variables in a nonlinear expectation space. We use the above result to give a new proof to the central limit theorem under a sublinear expectation space. The method can be also applied to prove the convergence of some numerical schemes for degenerate fully nonlinear PDEs.

研究动机与目标

• 在次线性期望空间中，为非线性期望族提出紧性的概念。
• 建立广义经典弱收敛的弱紧性准则，适用于非线性框架。
• 提供一种新的概率论方法证明次线性期望下的中心极限定理，避免使用深层PDE估计。
• 为退化完全非线性PDE解的存在性提供一种构造性方法。
• 实现对退化完全非线性PDE数值格式的收敛性分析。

提出的方法

• 为非线性期望族引入一种新的紧性条件，推广了概率论中的经典紧性概念。
• 利用次线性期望的表示定理，将其表示为一族线性期望的上确界。
• 通过紧性建立弱紧性，确保非线性期望的收敛等价于分布收敛。
• 构造一个独立同分布的随机变量序列，其增量在非线性期望下满足自相似性和独立性。
• 定义函数 $ u(t,x) = \mathbb{E}[\varphi(x + \xi_t)] $，并利用粘性解技术证明其满足一个完全非线性PDE。
• 通过验证其在粘性意义下满足PDE $ \partial_t u - G(D^2 u) = 0 $，证明 $ \xi_1 $ 服从 $ G $-正态分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将紧性准则推广至非线性期望空间，以保证弱紧性？
• RQ2 能否使用概率方法替代深层PDE估计，来证明模型不确定性下的中心极限定理？
• RQ3 在非线性期望下，具有独立平稳增量的构造随机过程是否产生 $ G $-正态分布？
• RQ4 该框架能否用于证明退化完全非线性PDE解的存在性？
• RQ5 该方法能否扩展至分析退化非线性PDE数值格式的收敛性？

主要发现

• 非线性期望族的紧性意味着在次线性期望框架下的弱紧性。
• 在次线性期望下，中心极限定理通过概率方法得到证明，无需依赖完全非线性抛物PDE的估计。
• 极限随机变量 $ \xi_1 $ 服从 $ G $-正态分布，其中 $ G(A) = \mathbb{E}[\langle A\xi_1, \xi_1 \rangle]/2 $。
• 函数 $ u(t,x) = \mathbb{E}[\varphi(x + \xi_t)] $ 是PDE $ \partial_t u - G(D^2 u) = 0 $ 的唯一粘性解。
• 该方法为证明退化完全非线性PDE解的存在性，提供了Perron方法的构造性替代方案。
• 该框架可推广至更一般的极限定理，例如 $ \sum_{i=1}^n (X_i/\sqrt{n} + Y_i/n) \to (\xi, \eta) $，其中 $ u(t,x) $ 满足 $ \partial_t u - G(Du, D^2 u) = 0 $。