[论文解读] Nonparametric estimation for interacting particle systems : McKean-Vlasov models

Laetitia Della Maestra, Marc Hoffmann|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 68被引用 37

一句话总结

论文开发非参数核估计器，用于 McKean-Vlasov 非线性 Fokker-Planck 方程的解以及漂移项 b，基于观测 N 个相互作用粒子轨迹，具有自适应带宽选择和极小极大最优性结果。

ABSTRACT

We consider a system of $N$ interacting particles, governed by transport and diffusion, that converges in a mean-field limit to the solution of a McKean-Vlasov equation. From the observation of a trajectory of the system over a fixed time horizon, we investigate nonparametric estimation of the solution of the associated nonlinear Fokker-Planck equation, together with the drift term that controls the interactions, in a large population limit $N \ ightarrow \\infty$. We build data-driven kernel estimators and establish oracle inequalities, following Lepski's principle. Our results are based on a new Bernstein concentration inequality in McKean-Vlasov models for the empirical measure around its mean, possibly of independent interest. We obtain adaptive estimators over anisotropic H\\"older smoothness classes built upon the solution map of the Fokker-Planck equation, and prove their optimality in a minimax sense. In the specific case of the Vlasov model, we derive an estimator of the interaction potential and establish its consistency.

研究动机与目标

• 为收敛到 McKean-Vlasov 方程的 N 个相互作用粒子系统提供统计推断的动机。
• 为随时间演进的密度 mu_t(x) 和漂移 b(t,x,mu_t) 构建数据驱动的核估计量。
• 建立基于 Lepski 原则的预言不等式和自适应性结果。
• 给出 Bernstein 集中不等式在 McKean-Vlasov 模型中，以支持集中性和估计结果。
• 探索在 Vlasov 模型中对相互作用 F 的估计及一致性结果。

提出的方法

• 通过对经验测度 pi^N 和密度 mu_h^N 的平滑，构造 mu_t(x) 的核估计量以及 b(t,x,mu_t) mu_t(x) 的积的核估计量。
• 对 b(t,x,mu_t) 使用商估计量，记为 hat{b} = hat{pi} / (hat{mu} ∨ varpi)。
• 应用 Goldenshluger-Lepski 方法对 mu 与 b 的带宽进行自适应选择，并给出预言不等式（定理 7 与 9）。
• 在由非线性抛物方程解映射构成的各向异性 Hölder 空间上，发展极小极大自适应估计结果。
• 推导 McKean-Vlasov 模型中经验测度的 Bernstein 集中不等式，以控制偏差。
• 在 Vlasov 情况下，提供对相互作用 F 的识别和一致估计结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从相互作用粒子系统的轨迹数据非参数地估计随时间演变的密度 mu_t(x)？
• RQ2 如何从数据中非参数地估计控制粒子相互作用的漂移项 b(t,x,mu_t)？
• RQ3 是否可以在 McKean-Vlasov 模型中，对 mu_t 和 b 在各向异性 Hölder 光滑性类中实现自适应（极小极大）估计？
• RQ4 在 McKean-Vlasov 设置下，可以建立哪些经验测度的集中性与偏差不等式以支持估计？
• RQ5 在 Vlasov 情况下，是否可以从观测数据中一致地识别并估计相互作用函数 F？

主要发现

• 本文构建了 mu_t(x) 和 b(t,x,mu_t) 的数据驱动核估计量，并证明了以带宽为变量的最佳偏差-方差权衡界限估计误差的预言不等式。
• 预言界证明估计量在各向异性 Hölder 类中实现近似最优的偏差-方差权衡。
• 在 McKean-Vlasov 模型中，围绕均值的经验测度的 Bernstein 集中不等式被确立，便于获得尖锐的非参数结果。
• 在时间-空间各向异性 Hölder 空间上，发展了 mu_t 和 b 的自适应极小极大结果，并给出最优性陈述。
• 在 Vlasov 设置中，可以使用傅里叶型估计量一致地估计相互作用 F，从数据中恢复相互作用。
• 分析依赖于一个新的可微分框架（k-线性可微性），用于控制经验过程偏差。