[论文解读] Note on Poincaré type Kähler metrics and Futaki characters

Hugues Auvray|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文引入了在紧致凯勒流形上除去一个简单法向交叉除子后的极小凯勒度量的庞加莱型Futaki特征，并通过涉及除子分量上梯度势函数积分的修正项，将其与经典Futaki特征联系起来。关键结果是一个关于极小庞加莱型度量存在的数值障碍，以包含除子分量上平均曲率和Futaki不变量的标量曲率不等式形式表达。

ABSTRACT

A Poincaré type Kähler metric on the complement X\D of a simple normal crossing divisor D, in a compact Kähler manifold X, is a Kähler metric on X\D with cusp singularity along D. We relate the Futaki character for holomorphic vector fields parallel to the divisor, defined for any fixed Poincaré type Kähler class, to the classical Futaki character for the relative smooth class. As an application we express a numerical obstruction to the existence of extremal Poincaré type Kähler metrics, in terms of mean scalar curvatures and Futaki characters.

研究动机与目标

• 为紧致凯勒流形中与简单法向交叉除子相切的全纯向量场定义并研究庞加莱型Futaki特征。
• 将此新Futaki特征与环境凯勒类的古典光滑Futaki特征相关联。
• 利用庞加莱型Futaki特征推导出极小庞加莱型凯勒度量存在的数值障碍。
• 将Yau-Tian-Donaldson猜想框架推广至沿除子具有尖点奇点的奇异凯勒度量。

提出的方法

• 将$X \setminus D$上的庞加莱型凯勒度量定义为沿简单法向交叉除子$D$具有尖点奇点的度量，其渐近模型为标准尖点度量。
• 将注意力限制在$\mathfrak{h}_{\!/\!/}^{D}$中的全纯向量场，即那些与$D$相切且在模型度量下有界的向量场。
• 通过此类向量场的梯度势函数与庞加莱型度量的里奇形式之间的$L^2$内积，定义庞加莱型Futaki特征$\mathscr{F}^{D}_{[\omega_X]}$。
• 建立庞加莱型Futaki特征与经典光滑Futaki特征之间关系的精确公式：$\mathscr{F}^{D}_{[\omega_X]}(\mathsf{Z}) = \mathscr{F}_{[\omega_X]}(\mathsf{Z}) + \sum_{j=1}^{N} \int_{D_j} f \frac{(\omega_X|_{D_j})^{m-1}}{(m-1)!}$，其中$f$是$\mathsf{Z}$的梯度势函数。
• 利用除子附近的渐近积结构及管状邻域上的极限论证，将$X \setminus D$上度量的标量曲率与除子分量上的标量曲率联系起来。
• 通过分析标量曲率的黎曼梯度并推导出涉及除子分量上平均标量曲率以及$X \setminus D$和$X \setminus (D \setminus D_j)$上Futaki不变量的标量曲率不等式，将公式应用于极小度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 庞加莱型凯勒度量的Futaki特征与同一全纯向量场在经典光滑Futaki特征中如何不同？
• RQ2 庞加莱型Futaki特征与光滑Futaki特征之间的精确修正项是什么？
• RQ3 关于标量曲率和Futaki不变量，极小庞加莱型凯勒度量存在的数值障碍是什么？
• RQ4 度量在除子分量附近的渐近行为如何影响标量曲率和Futaki不变量？
• RQ5 Yau-Tian-Donaldson猜想框架能否扩展至包含沿除子具有尖点奇点的度量？

主要发现

• 庞加莱型Futaki特征与经典光滑Futaki特征的差异，由向量场梯度势函数在除子每个不可约分量上的积分修正项决定。
• 该修正项明确给出为$\sum_{j=1}^{N} \int_{D_j} f \frac{(\omega_X|_{D_j})^{m-1}}{(m-1)!}$，其中$f$是全纯向量场的黎曼梯度势函数。
• 对于极小庞加莱型度量，$X \setminus D$上的平均标量曲率$\overline{\mathbf{s}}^{D}$满足不等式$\overline{\mathbf{s}}^{D} < \overline{\mathbf{s}}_{D_j}^{D^j} + \frac{1}{4\pi \operatorname{Vol}(D_j)} \left( \mathscr{F}^{D-D_j}_{[\omega_X]}(\mathsf{K}) - \mathscr{F}^{D}_{[\omega_X]}(\mathsf{K}) \right)$，对每个分量$D_j$成立。
• 该不等式源于在$D_j$附近渐近模型度量中参数$a_j > 0$的正性，该参数控制尖点行为。
• 该结果在光滑除子情形和简单法向交叉除子情形下均成立，后者需借助管状邻域和势函数极限行为进行更精细的分析。
• 推导依赖于除子$D_j$上标量曲率梯度势函数被归一化为零平均值这一事实，这使得Futaki特征差可改写为标量曲率差与参数$a_j$的表达式。