[论文解读] Kahler-Einstein metrics on Fano manifolds, I: approximation of metrics with cone singularities

Xiuxiong Chen, Simon Donaldson+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用 37

一句话总结

该论文证明了在法诺流形上沿光滑反 canonical 截痕的 Kähler-Einstein 度量带圆锥奇点，可在 Gromov-Hausdorff 拓扑下被具有一致有界直径和下有界 Ricci 曲率的光滑 Kähler 度量逼近。作者通过体积形式的正则化构造此类逼近，并求解一族复 Monge-Ampère 方程，证明了对奇异度量的收敛性，并将结果推广至 Ricci 曲率非正但保持一致有界的情形。

ABSTRACT

This is the first of a series of three papers which provide proofs of results announced recently in arXiv:1210.7494.

研究动机与目标

• 证明在法诺流形上沿光滑反 canonical 截痕带圆锥奇点的 Kähler-Einstein 度量是具有正 Ricci 曲率的光滑 Kähler 度量在 Gromov-Hausdorff 拓扑下的极限。
• 建立逼近序列的统一有界直径，其仅依赖于圆锥角和初始数据。
• 将逼近结果推广至 Ricci 曲率为非正的情形，同时保持直径和 Ricci 曲率的一致有界性。
• 通过逼近过程提供 Sobolev 常数的统一有界性。
• 展示带正则化体积形式的一族复 Monge-Ampère 方程的解收敛于奇异 Kähler-Einstein 度量。

提出的方法

• 通过光滑正形式逼近沿截痕 $[D]$ 的当前，以正则化奇异度量的体积形式。
• 使用 Calabi-Yau 定理求解带正则化体积形式的复 Monge-Ampère 方程，得到光滑 Kähler 潜势。
• 应用 Yau 定理，构造一个带参数 $\epsilon$ 的扰动 Monge-Ampère 方程的一族解，其中 $\epsilon$ 控制正则化程度。
• 利用隐函数定理和 Hölder 正则性理论，证明当 $\epsilon \to 0$ 时，解收敛于原始奇异度量。
• 建立体积形式和势函数的统一 $L^{p_0}$ 有界性，以确保等连续性并实现 Hölder 范数下的收敛。
• 利用最大值原理和谱间隙估计，控制逼近度量的 Ricci 曲率，确保一致有界直径。

实验结果

研究问题

• RQ1 在法诺流形上沿光滑反 canonical 截痕带圆锥奇点的 Kähler-Einstein 度量，是否可在 Gromov-Hausdorff 拓扑下被具有统一有界直径和正 Ricci 曲率的光滑 Kähler 度量逼近？
• RQ2 该逼近过程是否能给出与圆锥角无关的 Sobolev 常数统一有界性？
• RQ3 该逼近结果能否推广至 Ricci 曲率为非正的情形，同时保持直径和 Ricci 曲率的一致有界性？
• RQ4 当正则化参数 $\epsilon$ 趋近于零时，复 Monge-Ampère 方程的正则化解如何收敛于奇异 Kähler-Einstein 度量？
• RQ5 直径有界性对圆锥角 $\beta$ 和初始数据的依赖关系如何，特别是在非正曲率情形下？

主要发现

• 当 $\beta \geq \beta_0 > 1 - \lambda^{-1}$ 时，具有正 Ricci 曲率的光滑 Kähler 度量序列的 Gromov-Hausdorff 极限即为沿 $D$ 带 $2\pi\beta$ 圆锥角的奇异 Kähler-Einstein 度量 $\omega_{\varphi_\beta}$。
• 即使 Ricci 曲率为非正，逼近序列的直径仍具有仅依赖于 $\beta_0$、$\lambda$ 和初始数据的统一有界性。
• 通过逼近过程建立了 Sobolev 常数的统一有界性，与 Jeffres、Mazzeo 和 Rubinstein 的结果一致。
• 当 $\lambda > 1$ 且 $\beta \in [\beta_0, 1 - \lambda^{-1}]$ 时，奇异度量仍是具有下界为 $c_\beta = 1 - \lambda(1 - \beta) \leq 0$ 的 Ricci 曲率的光滑度量序列的 Gromov-Hausdorff 极限，且直径一致有界。
• 证明了当 $\epsilon \to 0$ 时，正则化解 $\omega_{\psi_\epsilon}$ 在 Gromov-Hausdorff 拓扑下收敛于 $\omega_{\varphi_\beta}$，且对体积形式的 $L^{p_0}$ 范数和势函数具有统一控制。
• 奇异度量的拉普拉斯算子的第一特征值严格为正，从而在构造解族的隐函数论证中确保了唯一性和正则性。