[论文解读] Note on (weak) Gorenstein global dimensions

Najib Mahdou, Mohammed Tamekkante|ArXiv.org|Oct 29, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文刻画了任意环的弱 Gorenstein 全局维数，将希尔伯特的 syzygy 定理推广到此背景，并构造了具有有限 Gorenstein 弱全局维数但无限经典弱维数的非诺特环，证明了存在非诺特环具有大于零的有限 Gorenstein 维数。

ABSTRACT

In this note we characterize the (resp., weak) Gorenstein global dimension for an arbitrary ring. Also, we extend the well-known Hilbert's syzygy Theorem to the weak Gorenstein global dimension and we study the weak Gorenstein homological dimensions of direct product of rings, which gives examples of non-coherent rings of finite Gorenstein dimensions $>0$ and infinite classical weak dimension.

研究动机与目标

• 刻画任意环的弱 Gorenstein 全局维数，推广经典同调维数。
• 将希尔伯特的 syzygy 定理推广到弱 Gorenstein 全局维数的设定中。
• 研究弱 Gorenstein 同调维数在环的直积下的行为。
• 构造具有有限 Gorenstein 弱全局维数但无限经典弱维数的非诺特环的例子。
• 澄清在非诺特和非诺特设定下 Gorenstein 维数与经典同调维数之间的关系。

提出的方法

• 利用 Tor 调和函子在内射模上的消失性来刻画 Gorenstein 平坦模。
• 通过典范模构造 $M^+ = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$，在平坦维数与内射维数之间建立对偶性。
• 利用引理 2.15，将中心非零因子在多项式扩张中的内射维数传递性。
• 应用定理 2.10，将弱 Gorenstein 全局维数与内射模的平坦维数的上确界联系起来。
• 通过直积 $T_n \times S$ 构造例子，其中 $T_n = R[X_1, \dots, X_n]$，$R = K[X]/(X^2)$，且 $S$ 是一个满足 $\operatorname{wdim}(S) = \infty$ 的非诺特环。
• 利用关于多项式环和直积的 Gorenstein 维数的已知结果，计算 $\operatorname{wGgldim}(T_n \times S)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个任意环的弱 Gorenstein 全局维数的刻画是什么？
• RQ2 弱 Gorenstein 全局维数在多项式扩张下如何表现？
• RQ3 非诺特环是否可以具有有限 Gorenstein 弱全局维数但具有无限经典弱维数？
• RQ4 在非诺特环中，弱 Gorenstein 全局维数与经典弱全局维数之间的关系是什么？
• RQ5 希尔伯特的 syzygy 定理是否可推广到 Gorenstein 弱全局维数的设定中？

主要发现

• 环 $R$ 的弱 Gorenstein 全局维数被刻画为所有内射 $R$-模的平坦维数的上确界。
• 多项式环 $R[x]$ 的弱 Gorenstein 全局维数恰好为 $\operatorname{wGgldim}(R) + 1$，将希尔伯特的 syzygy 定理推广到了 Gorenstein 背景。
• 对于直积 $T_n \times S$，其中 $T_n = R[X_1, \dots, X_n]$，$R = K[X]/(X^2)$，且 $S$ 是一个满足 $\operatorname{wdim}(S) = \infty$ 的非诺特环，有 $\operatorname{wGgldim}(T_n \times S) = n$。
• 环 $T_n \times S$ 是非诺特的，因为 $S$ 是非诺特的，这表明非诺特性并不排除有限 Gorenstein 弱全局维数。
• 环 $T_n \times S$ 的经典弱维数是无限的，因为 $\operatorname{wdim}(S) = \infty$，这表明经典维数与 Gorenstein 维数之间存在严格分离。
• 该构造提供了具有大于零的有限 Gorenstein 弱全局维数但无限经典弱维数的非诺特环的显式例子。