[论文解读] Notes on Clans and Tribes

André Joyal|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 11

一句话总结

本文引入了一种类别框架，用于同伦类型论，使用了'族'（clans）和'部落'（tribes）的概念——即配备纤维化和可去映射的范畴。它证明了部落是布朗纤维化范畴，并为依赖类型和同伦理论建模提供了基础工具，尽管未完成的同伦等价部落构造仍待进一步研究。其主要贡献在于为具有同伦结构的类型论提供了范畴基础。

ABSTRACT

The purpose of these notes is to give a categorical presentation/analysis of homotopy type theory. The notes are incomplete as they stand (October 2017). The chapter on univalent tribes is missing. The references are not always connected to the text. A better version is in preparation.

研究动机与目标

• 通过'族'的概念，发展同伦类型论的范畴模型，作为依赖类型的范畴基础。
• 引入'部落'作为一类范畴结构，以捕捉马丁-洛夫类型论中具有同伦结构的关键特征。
• 证明部落是布朗纤维化范畴，从而为类型论构造提供同伦解释。
• 为未来同伦等价部落构造奠定基础，此版本中尚未完成。
• 探索部落与族的单纯上同调变体，以应用于高阶拓扑斯理论与同伦理论。

提出的方法

• 将'族'定义为一类纤维化在复合与拉回下封闭的范畴，形成依赖类型的范畴模型。
• 在族中引入'可去映射'，并定义'部落'为满足：可去映射的拉回仍是可去映射，且每个映射均可分解为可去映射后接纤维化的族。
• 利用Yoneda嵌入与Reedy纤维化图，对类型论构造（如求和与积）进行建模。
• 构造映射路径对象，并通过将映射分解为无扭映射与纤维化来定义同伦笛卡尔正方形。
• 应用格罗滕迪克纤维化理论与提升性质，分析同伦理论背景下纤维化与可去映射的性质。
• 引入单纯部落作为更高维推广，适用于建模同伦等价 universes 与高阶拓扑斯。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过'族'这类范畴结构在不依赖命题等价性的情况下建模依赖类型？
• RQ2 何种条件可使族成为部落？这与纤维化和可去映射有何关联？
• RQ3 在部落中，同伦笛卡尔正方形与映射路径对象如何产生？它们在建模类型论路径中起什么作用？
• RQ4 部落与布朗纤维化范畴之间存在何种关系？这如何支持同伦推理？
• RQ5 如何利用单纯部落建模同伦等价类型论？构建同伦等价部落需要何种结构？

主要发现

• 每个部落都是布朗纤维化范畴，为具有纤维化与弱等价性的同伦理论提供了范畴设定。
• 纤维化沿可去映射的拉回仍是可去的，这是部落中同伦一致性的重要性质。
• 同伦笛卡尔正方形可通过将右端映射分解为无扭映射后接纤维化，再检查诱导映射 (u, v₀g) 的无扭性来刻画。
• 部落理论支持路径对象的构造，并允许定义纤维化同伦，这对建模恒等类型至关重要。
• 该框架支持积与多项式函子的内化，从而实现对类型论构造的范畴化处理。
• 引入了单纯部落作为更高维推广，具有在同伦等价基础与高阶拓扑斯理论中应用的潜力。