[论文解读] Notes on Ding-Iohara algebra and AGT conjecture

Hidetoshi Awata, Boris Feigin+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用 54

一句话总结

本文利用 Ding-Iohara 代数，建立了 U(1) 规范理论的 q-类比 AGT 对应关系，引入了一个顶点算符 Φ(w)，其矩阵元可分解为类似 Nekrasov 的表达式。在一级情形下，Macdonald 多项式态之间的矩阵元被证明与 q-变形 Nekrasov 因子匹配，从而在 q-变形设定下实现了 AGT 关系的表示论实现。

ABSTRACT

We study the representation theory of the Ding-Iohara algebra $\calU$ to find $q$-analogues of the Alday-Gaiotto-Tachikawa (AGT) relations. We introduce the endomorphism $T(u,v)$ of the Ding-Iohara algebra, having two parameters $u$ and $v$. We define the vertex operator $Φ(w)$ by specifying the permutation relations with the Ding-Iohara generators $x^\pm(z)$ and $ψ^\pm(z)$ in terms of $T(u,v)$. For the level one representation, all the matrix elements of the vertex operators with respect to the Macdonald polynomials are factorized and written in terms of the Nekrasov factors for the $K$-theoretic partition functions as in the AGT relations. For higher levels $m=2,3,...$, we present some conjectures, which imply the existence of the $q$-analogues of the AGT relations.

研究动机与目标

• 通过 Ding-Iohara 代数建立 Alday-Gaiotto-Tachikawa (AGT) 对应关系的 q-变形类比。
• 通过使用双参数自同态 T(u,v) 的代数生成元的置换关系，在 Fock 空间上定义顶点算符 Φ(w)。
• 证明在整数基态之间，Φ(w) 的矩阵元在 U(1) 情形下可分解为 q-变形 Nekrasov 因子。
• 通过 m 重张量积中顶点算符结构的猜想，将该框架推广至更高阶表示（U(m) 规范群）。
• 基于 Macdonald 多项式与 Heisenberg 代数实现，为 K-理论版本的 AGT 对应关系提供表示论基础。

提出的方法

• 在 Ding-Iohara 代数上引入一个双参数 u 和 v 的自同态 T(u,v)，以定义顶点算符 Φ(w)。
• 通过归一化条件 Φ(w)|0⟩ = |0⟩ + ⋯ 及对所有 a ∈ 𝒰 成立的置换关系 T(vw, q⁻¹tuw)(a)Φ(w) = Φ(w)T(q⁻¹tvw, uw)(a)，定义 Φ(w)。
• 使用 Heisenberg 生成元 aₙ 表示 Φ(w)，形式为涉及 ∑(1/n) × q, t, u, v 的有理函数之和的指数算符。
• 以 Macdonald 对称函数 Pλ(x;q,t) 为基，并在一级情形下将整数基 |Kλ⟩ 定义为 Macdonald 多项式的整数形式 Jλ(x;q,t)。
• 对于 m ≥ 2 的高阶情形，将表示定义在 m 重张量积 ℱᵤ₁ ⊗ ⋯ ⊗ ℱᵤₘ 上，并引入顶点算符的猜想结构。
• 应用 q-Saalschütz 求和公式，验证特定情形（如单行与单列分拆）下矩阵元的可分解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 Ding-Iohara 代数将 AGT 对应关系推广为 q-变形版本？
• RQ2 Fock 空间上顶点算符 Φ(w) 的矩阵元是否在 q-变形设定下可分解为类似 Nekrasov 划分函数的表达式？
• RQ3 是否可通过 Ding-Iohara 代数的高阶表示，为 U(m) 规范理论建立一致的 q-类比 AGT 关系？
• RQ4 能否在 m 重张量积空间上一致地定义顶点算符 Φ(w)，使其矩阵元可分解并匹配 q-变形 Nekrasov 因子？
• RQ5 自同态 T(u,v) 在实现定义 Φ(w) 的置换关系并确保矩阵元可分解性方面起什么作用？

主要发现

• 在一级表示中，矩阵元 ⟨Kλ|Φ(w)|Kμ⟩ 可分解为 q-变形 Nekrasov 因子的乘积，显式表达为 Nλ,μ(qv/tu)(−tuvw/q)|λ|(tvw/q)−|μ|u|μ|t−n(μ)q^n(μ′)。
• 顶点算符 Φ(w) 唯一地定义为 Heisenberg 生成元的指数形式，表达为 Φ(w) = exp(−∑(1/n)((vⁿ−(t/q)ⁿuⁿ)/(1−qⁿ))a₋ₙwⁿ) × exp(∑(1/n)((v⁻ⁿ−u⁻ⁿ)/(1−q⁻ⁿ))aₙw⁻ⁿ)。
• 在单行分拆 λ=(j), μ=(k) 的情形下，矩阵元与 q-类比 Nekrasov 因子一致，证实了在 U(1) 情形下与 AGT 关系的一致性。
• 在单列分拆 λ=(1ʲ), μ=(k) 的情形下，矩阵元通过 q-Saalschütz 求和公式表达，得到包含 (t⁻ʲv/u; t)ₖ 与 (q²⁻ᵏv/u; q)ₖ 的可分解表达式。
• 整数基 |Kλ⟩ 在一级情形下对应于 Macdonald 多项式的整数形式 Jλ(x;q,t)，如命题 2.11 所示。
• 第 3.4 节中的猜想（猜想 3.13）表明，对于 m ≥ 2 的高阶情形，m 重张量积空间上的顶点算符 Φ(w) 可产生 U(m) 规范理论的 q-变形 AGT 关系，尽管 m > 1 时的基结构尚未证明。