[论文解读] Numerably Contractible Spaces

Eugenia Schwamberger, R. M. Vogt|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文对可数可收缩空间——即存在可数开覆盖且每个包含映射都同伦于常值映射的拓扑空间——进行了系统研究，展示了其在同伦论中的核心作用。证明了当底空间路径连通且可数可收缩时，拓扑实现函子保持纤维序列，这意味着在同伦意义下，环路空间函子与实现函子可交换，并建立了拓扑操作律上自由代数为可数可收缩的充分条件。

ABSTRACT

Numerably contractible spaces play an important role in the theory of homotopy pushouts and pullbacks. The corresponding results imply that a number of well known weak homotopy equivalences are genuine ones if numerably contractible spaces are involved. In this paper we give a first systematic investigation of numerably contractible spaces. We list the elementary properties of the category of these spaces. We then study simplicial objects in this category. In particular, we show that the topological realization functor preserves fibration sequences if the base is path-connected and numerably contractible in each dimension. Consequently, the loop space functor commutes with realization up to homotopy. We give simple conditions which assure that free algebras over a topological operad are numerably contractible.

研究动机与目标

• 在代数拓扑中建立可数可收缩空间（亦称Dold空间）的基础理论。
• 研究这些空间背景下单纯对象与拓扑实现函子的行为。
• 确定拓扑操作律上自由代数为可数可收缩的条件。
• 通过证明在涉及可数可收缩空间时，经典同伦等价可成为真正的等价，从而强化经典同伦等价。
• 通过构造涉及Dold空间的反例，探索同伦论中闭类的局限性。

提出的方法

• 通过可数开覆盖定义可数可收缩空间，其中每个包含映射同伦于常值映射。
• 利用Dold在纤维丛中关于单位分解定理的结果，推导出同伦拉回与上拉回的加强结果。
• 将拓扑实现函子应用于可数可收缩空间范畴中的单纯对象。
• 证明当底空间路径连通且可数可收缩时，实现函子保持纤维序列。
• 利用同伦提升性质与路径连通性性质，证明环路空间函子与实现函子在同伦意义下可交换。
• 利用路径连通性与同伦不变性，建立拓扑操作律上自由代数（如小n立方体操作律）为可数可收缩的判别准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可数可收缩空间存在的情况下，弱同伦等价何时成为真正的同伦等价？
• RQ2 当对可数可收缩空间上的单纯对象应用拓扑实现函子时，该函子是否保持纤维序列？
• RQ3 在可数可收缩空间上，拓扑操作律上的自由代数在何种条件下自身也是可数可收缩的？
• RQ4 对于可数可收缩的底空间，环路空间函子是否在同伦意义下与实现函子可交换？
• RQ5 是否存在不是CW复形同伦类型的Dold空间？其对同伦分类有何影响？

主要发现

• 当底空间路径连通且可数可收缩时，拓扑实现函子保持纤维序列，从而保证环路空间函子与实现函子在同伦意义下可交换。
• 在路径连通且可数可收缩的空间上，小n立方体操作律上的自由代数被证明是可数可收缩的，推广了May与Meiwes的结果。
• 当X路径连通且可数可收缩时，对称积 $SP_n(X)$ 是Dold空间，因为它是交换操作律上自由代数的形变重言。
• 存在不是CW复形同伦类型的Dold空间，例如 $\{1/n\} \cup \{0\}$ 的非约化悬垂，其同调非有限生成。
• Dold空间之间的弱同伦等价不一定是同伦等价，如上述悬垂空间的CW逼近所示。
• Dold空间的环路空间不一定是Dold空间，如有理数 $\mathbb{Q}$ 所示：其单形复形实现为Dold空间，但其环路空间不是。