[论文解读] Numerical analysis of a full discretization for stochastic Cahn--Hilliard equation driven by additive noise

Jianbo Cui, Jialin Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用 9

一句话总结

本文通过空间谱伽辽金法和时间加速隐式欧拉格式，对由时空白噪声驱动的随机Cahn--Hilliard方程进行了全离散化。结合半群理论、插值不等式和精确的正则性估计，建立了负Sobolev空间中的最优强收敛率，得到在 $ L^p(\Omega; H) $ 范数下的收敛率为 $ \mathcal{O}(\delta t + \lambda_N^{-\gamma/2}) $。

ABSTRACT

In this article, we consider the stochastic Cahn--Hilliard equation driven by space-time white noise. We discretize this equation by using a spatial spectral Galerkin method and a temporal accelerated implicit Euler method. The optimal regularity properties and uniform moment bounds of the exact and numerical solutions are shown. Then we prove that the proposed numerical method is strongly convergent with the sharp convergence rate in a negative Sobolev space. By using an interpolation approach, we deduce the spatial optimal convergence rate and the temporal super-convergence rate of the proposed numerical method in strong convergence sense. To the best of our knowledge, this is the first result on the strong convergence rates of numerical methods for the stochastic Cahn--Hilliard equation driven by space-time white noise. This interpolation approach is also applied to the general noise and high dimension cases, and strong convergence rate results of the proposed scheme are given.

研究动机与目标

• 填补由粗糙噪声（特别是时空白噪声）驱动的随机Cahn--Hilliard方程全离散化强收敛率分析中的空白。
• 在强意义下建立精确解与数值解在负Sobolev空间中的最优正则性估计，尤其关注负Sobolev空间。
• 推导结合谱伽辽金空间逼近与加速隐式欧拉时间离散化的全离散化方法的精确强收敛误差估计。
• 在初始数据正则性假设最小的条件下，证明在 $ L^p(\Omega; H) $ 范数下的收敛率。

提出的方法

• 通过将投影 $ P^N $ 投影到Neumann拉普拉斯算子的有限维特征子空间上，实现空间离散化。
• 采用加速隐式欧拉格式进行时间离散化，以处理刚性非线性项并保证稳定性。
• 运用半群理论分析解算子的光滑性质并推导正则性估计。
• 利用Sobolev空间之间的插值不等式，弥合负Sobolev范数收敛性与物理空间 $ H = L^2 $ 之间的差距。
• 通过利用Cahn--Hilliard方程的梯度流结构，将强收敛问题约化至 $ \mathbb{H}^{-1} $ 空间。
• 利用原方程与包含随机PDE和随机卷积 $ Z(t) $ 的系统之间的等价性，推导出精确的误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 由时空白噪声驱动的随机Cahn--Hilliard方程全离散化的最优强收敛率是多少？
• RQ2 是否可通过在负Sobolev空间而非标准 $ L^2 $ 空间中分析问题来提升收敛率？
• RQ3 精确解与数值解的正则性特征如何影响强收敛率？
• RQ4 空间谱伽辽金逼近与时间加速隐式欧拉格式之间如何协同作用以实现最优收敛？
• RQ5 当正则性受限时，能否通过插值在 $ L^p(\Omega; H) $ 中恢复收敛率？

主要发现

• 在假设 $ (I - \mathbb{L})X_0 \in \mathbb{H}^\gamma $ 条件下，精确解 $ X(t) $ 与数值解 $ X^N_k $ 在 $ \mathbb{H}^\gamma $ 空间中满足最优正则性估计，其中 $ \gamma \in (0, \frac{3}{2}) $。
• 空间谱伽辽金方法在 $ L^p(\Omega; H) $ 范数下达到最优收敛率 $ \mathcal{O}(\lambda_N^{-\gamma/2}) $，其中 $ \lambda_N $ 为Neumann拉普拉斯算子的第 $ N $ 个特征值。
• 采用加速隐式欧拉格式的时间离散化方法实现时间收敛率 $ \mathcal{O}(\delta t) $，其中 $ \delta t $ 为时间步长。
• 全离散化在 $ L^p(\Omega; H) $ 范数下实现联合收敛率 $ \mathcal{O}(\delta t + \lambda_N^{-\gamma/2}) $，其中 $ p \geq 1 $。
• 收敛分析在负Sobolev空间 $ \mathbb{H}^{-1} $ 中进行，通过半群光滑性与插值技术导出精确误差估计。
• 结果是精确的，并扩展了先前工作，建立了在非全局Lipschitz情形下对粗糙噪声（特别是时空白噪声）的收敛率。