[论文解读] Weak convergence and invariant measure of a full discretization for non-globally Lipschitz parabolic SPDE

Jianbo Cui, Jialin Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文提出了一种针对带非全局Lipschitz系数的抛物型随机PDE的全离散格式，采用谱Galerkin空间逼近与隐式Euler时间积分方法。该工作建立了几乎精确的弱收敛速率 $\delta t^\gamma + \lambda_N^{-\gamma}$，并在强耗散性和非退化性条件下证明了数值不变测度的收敛性，借助Malliavin微积分与Kolmogorov方程的时间无关正则性估计。

ABSTRACT

Approximating the invariant measure and the expectation of the functionals for parabolic stochastic partial differential equations (SPDEs) with non-globally Lipschitz coefficients is an active research area and is far from being well understood. In this article, we study such problem in terms of a full discretization based on the spectral Galerkin method and the temporal implicit Euler scheme. By deriving the a priori estimates and regularity estimates of the numerical solution via a variational approach and Malliavin calculus, we establish the sharp weak convergence rate of the full discretization. When the SPDE admits a unique $V$-uniformly ergodic invariant measure, we prove that the invariant measure can be approximated by the full discretization. The key ingredients lie on the time-independent weak convergence analysis and time-independent regularity estimates of the corresponding Kolmogorov equation. Finally, numerical experiments confirm the theoretical findings.

研究动机与目标

• 解决抛物型SPDE全离散格式在非全局Lipschitz系数下缺乏精确弱收敛速率的问题。
• 在适当的耗散性与非退化性条件下，建立数值不变测度向SPDE真实不变测度收敛的结论。
• 为全离散化关联的Kolmogorov方程发展时间无关的先验估计与正则性估计。
• 将弱收敛分析扩展至具有多项式增长的 $C^2_p(H)$ 泛函。

提出的方法

• 结合谱Galerkin空间离散与隐式Euler时间积分方法进行时间推进。
• 采用变分方法与Malliavin微积分，推导数值解及其Malliavin导数的先验估计与正则性估计。
• 利用Bismut–Elworthy–Li公式，并通过随机PDE与原始SPDE之间的等价性，建立Kolmogorov方程的时间无关正则性。
• 应用Itô公式处理Skorohod积分，并结合Sobolev–Gagliardo–Nirenberg不等式，处理半群框架下最大值原理的失效问题。
• 引入强耗散性与非退化性条件，以保证遍历性，并获得数值解的时间无关有界性。
• 通过指数衰减估计与数值解的一致有界性，将分析扩展至 $C^2_p(H)$ 泛函。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有非全局Lipschitz系数的抛物型SPDE，全离散格式的精确弱收敛速率是什么？
• RQ2 在适当条件下，此类SPDE的不变测度能否通过全离散格式实现逼近？
• RQ3 如何为全离散化建立Kolmogorov方程的时间无关正则性估计？
• RQ4 哪些条件能确保数值不变测度的遍历性与收敛性？
• RQ5 弱收敛分析能否扩展至具有多项式增长的泛函？

主要发现

• 全离散格式在 $\gamma \in (0, \beta)$ 条件下实现了几乎精确的弱收敛速率 $\delta t^\gamma + \lambda_N^{-\gamma}$，其中 $\beta \in (0,1]$。
• 在强耗散性与非退化性条件下，数值不变测度收敛于SPDE的真实不变测度。
• 通过变分法与Malliavin微积分技术，建立了数值解及其Malliavin导数的时间无关先验估计。
• 证明了Kolmogorov方程的正则性估计具有时间无关性，从而支持长时间弱收敛分析。
• 数值实验验证了在圆柱Wiener噪声下（$\kappa = 0$）弱收敛阶为0.5，而在更光滑噪声下（$\kappa = 0.5, 2$）收敛阶为1。
• 数值方法表现出遍历性：即使当 $\lambda_F > \lambda_1$ 时，不同初值下泛函的平均值仍随时间收敛至同一值。