[论文解读] Occupation times of refracted L evy processes with jumps having rational Laplace transform

Lan Wu, Jiang Zhou|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文通过分析具有有理拉普拉斯变换的跳跃的折射Lévy过程，扩展了先前关于折射Lévy过程的研究，涵盖无高斯分量的情形。本文提出一种新颖的分析方法，推导出关于占用时间的一个新恒等式，该恒等式被推测对所有Lévy过程普遍成立，或可成为该领域未来研究的基础。

ABSTRACT

We extend our previous research in Zhou and Wu (2015) to more general jump diusion processes, whose jumps have rational Laplace transform. We also consider a refracted L evy process without Gaussian component, which has not been investigated in Zhou and Wu (2015) and under which some interesting results are obtained. We remark that this extension is non-trivial. Actually, to derive our main results in this paper, we should make some modications on the approach used in Zhou and Wu (2015). We have to say that the modied method is so novel that some important equations can be obtained without much eort. In addition to deriving formulas that can be used to compute the expectation of the total time of deducting fees as in Zhou and Wu (2015), we also obtain a very interesting identity. We conjecture that this identity holds for an arbitrary L evy process, and we believe that this identity will play an important role in the research on occupation times of refracted L evy processes.

研究动机与目标

• 将先前关于折射Lévy过程中占用时间结果的分析推广至具有有理拉普拉斯变换的跳跃分布。
• 研究不包含高斯分量的折射Lévy过程，这是早期研究未涵盖的情形。
• 开发一种改进的分析方法，以更高效地推导关键结果。
• 建立一个关于占用时间的新恒等式，推测其在所有Lévy过程中普遍成立。
• 提供计算费用扣除总时间期望值的公式，扩展先前的计算工具。

提出的方法

• 改编并修改Zhou和Wu（2015）的分析框架，以适应具有有理拉普拉斯变换的跳跃。
• 运用点蚀理论和指数函数工具分析折射Lévy过程中的占用时间。
• 通过更精细地应用Wiener-Hopf分解技术，推导出关于占用时间的新恒等式。
• 利用拉普拉斯变换的有理结构，简化并求解关键的积分微分方程。
• 通过路径分解和兴奋理论，建立折射过程与其基础Lévy过程之间的联系。
• 将新方法应用于推导在费用扣除机制下占用时间期望值的显式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将折射Lévy过程的占用时间分析扩展至具有有理拉普拉斯变换的跳跃分布？
• RQ2 处理不包含高斯分量的折射Lévy过程需要哪些新的分析工具？
• RQ3 能否推导出一个适用于所有Lévy过程的占用时间通用恒等式？
• RQ4 所提出的新方法相较于Zhou和Wu（2015）的方法有何改进？
• RQ5 该新恒等式对未来在折射Lévy过程研究中的影响是什么？

主要发现

• 提出了一种新颖的分析方法，可高效推导出具有有理跳跃分布的折射Lévy过程的占用时间结果。
• 本文推导出计算费用扣除总时间期望值的显式公式，扩展了先前的计算工具。
• 识别出一个关于占用时间的新恒等式，推测其在所有Lévy过程中普遍成立。
• 该恒等式自然地从改进的方法中浮现，表明占用时间分布中存在深层次的结构性特征。
• 该方法成功处理了不包含高斯分量的折射Lévy过程，揭示了新的分析洞见。
• 结果表明，有理拉普拉斯变换结构使得占用时间分析实现了显著简化。