[论文解读] Fluctuation theory for upwards skip-free Lévy chains

Matija Vidmar|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文通过借鉴谱负 Lévy 过程的技术，为向上跳跃自由的 Lévy 链（即跳跃受限于格点且无正向跳跃的复合泊松过程）构建了完整的波动理论。关键贡献在于提出了一个用于尺度函数的线性递推关系，实现了显式计算，尤其在跳跃支撑集有界时更为清晰和详尽，相较于一般 Lévy 过程情形提供了更明确的处理方式。

ABSTRACT

A fluctuation theory and, in particular, a theory of scale functions is developed for upwards skip-free Lévy chains, i.e. for right-continuous random walks embedded into continuous time as compound Poisson processes. This is done by analogy to the spectrally negative class of Lévy processes -- several results, however, can be made more explicit/exhaustive in our compound Poisson setting. In particular, the scale functions admit a linear recursion, of constant order when the support of the jump measure is bounded, by means of which they can be calculated -- some examples are considered.

研究动机与目标

• 为向上跳跃自由的 Lévy 链发展一套全面的波动理论，其形式与谱负 Lévy 过程中已建立的理论相类似。
• 在该特定过程类别中，提供对尺度函数与 Wiener-Hopf 分解更明确、更详尽的处理。
• 刻画此类链的下降首攀高度过程所对应的子ordinator 类别。
• 推导出一个允许直接、算法化计算这些函数的线性递推关系。

提出的方法

• 本文利用具有格点跳跃的复合泊松过程的结构，通过利用跳跃自由的特性来降低复杂度，推导出尺度函数的线性递推关系。
• 建立了尺度函数与线性差分方程特征多项式之间的联系，从而实现递归计算。
• 通过适配至向上跳跃自由链的离散格点设定，基于 Wiener-Hopf 分解构建理论。
• 利用过程的无穷小生成元，推导出停时尺度函数的局部鞅性质。
• 该方法包括通过求解特征多项式的根来确定尺度函数初始值的线性方程组。
• 将理论应用于跳跃支撑集有界与无界的例子，某些情形下推导出闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于向上跳跃自由 Lévy 链与谱负 Lévy 过程在结构上的相似性，如何系统地发展其波动理论？
• RQ2 在此设定下，尺度函数具有何种显式形式？能否实现算法化计算？
• RQ3 哪些子ordinator 可作为此类链的下降首攀高度过程出现？如何对其进行刻画？
• RQ4 尺度函数能否通过线性递推关系计算？在何种条件下该递推关系为常数阶？
• RQ5 尺度函数停时过程的局部鞅性质对首达时问题有何影响？

主要发现

• 当跳跃支撑集有界时，向上跳跃自由 Lévy 链的尺度函数满足常数阶线性递推关系，从而实现高效计算。
• 当跳跃支撑集有界且跳跃向下最多为 l 个单位时，该递推关系的特征多项式次数为 l+1，且尺度函数的前 l+1 个值可通过求解 l+1 个线性方程组确定。
• 该类链的下降首攀高度过程所对应的子ordinator 类别在定理 3.11 中被精确刻画。
• 对于无界跳跃支撑集，某些情形下仍可获得闭式表达式，例如当跳跃率呈几何衰减时，会导出二阶线性差分方程。
• 通过无穷小生成元与马氏性质，可证明涉及尺度函数的停时过程在自然滤子下为局部鞅。
• 该理论为尺度函数提供了直接的计算路径，相较于一般谱负情形更为明确。