[论文解读] On 321-avoiding permutations in affine Weyl groups

R. M. Green|ArXiv.org|Dec 12, 2001

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 9

一句话总结

该论文证明，在类型 $\tilde{A}_{n-1}$ 的仿射 Weyl 群中，321-避免排列恰好与完全交换元素一致——即其约化表达式可通过短 braid 关系连接。此外，该论文进一步证明这些元素构成 Kazhdan–Lusztig 两侧行的并集，从而使得相关 Hecke 代数中某些结构常数的组合计算成为可能。

ABSTRACT

We introduce the notion of 321-avoiding permutations in the affine Weyl group $W$ of type $A_{n-1}$ by considering the group as a George group (in the sense of Eriksson and Eriksson). This enables us to generalize a result of Billey, Jockusch and Stanley to show that the 321-avoiding permutations in $W$ coincide with the set of fully commutative elements; in other words, any two reduced expressions for a 321-avoiding element of $W$ (considered as a Coxeter group) may be obtained from each other by repeated applications of short braid relations. Using Shi's characterization of the Kazhdan--Lusztig cells in the group $W$, we use our main result to show that the fully commutative elements of $W$ form a union of Kazhdan--Lusztig cells. This phenomenon has been studied by the author and J. Losonczy for finite Coxeter groups, and is interesting partly because it allows certain structure constants for the Kazhdan--Lusztig basis of the associated Hecke algebra to be computed combinatorially. We also show how some of our results can be generalized to a larger group of permutations, the extended affine Weyl group associated to $GL_n({\Bbb C})$.

研究动机与目标

• 通过排列表示定义并刻画类型 $\tilde{A}_{n-1}$ 的仿射 Weyl 群中的 321-避免排列。
• 在该群中建立 321-避免排列与完全交换元素之间的等价性。
• 证明完全交换元素的集合构成两侧行 Kazhdan–Lusztig 两侧行的并集。
• 将该结果应用于将某些 Kazhdan–Lusztig 基结构常数的计算简化为可处理的组合问题。
• 将该框架推广至与 $GL_n(\bbC)$ 相关的扩展仿射 Weyl 群。

提出的方法

• 通过 Lusztig 的实现，将仿射 Weyl 群 $W(\tilde{A}_{n-1})$ 视为 $\bbZ$ 上的排列群，满足周期性 $w(i+n) = w(i)+n$ 和和不变性 $\sum_{t=1}^n w(t) = \sum_{t=1}^n t$。
• 定义生成元 $s_i$ 在 $\bbZ$ 上的作用为特定排列，其值根据模 $n$ 的剩余类进行移动。
• 将扩展仿射 Weyl 群 $\tilde{W}$ 定义为包含仿射 Weyl 群和满足 $\rho^n = 1$ 的平移算子 $\rho$ 的排列群。
• 利用 Shi 在类型 $\tilde{A}_{n-1}$ 中关于 Kazhdan–Lusztig 两侧行的组合准则，分析完全交换元素的行结构。
• 应用 Green 与 Losonczy 关于完全交换元素在 $\geq_{LR}$ 顺序下封闭性的结果，证明 $C'_w$（其中 $w$ 不完全交换）的 ${\bbZ}[v,v^{-1}]$-张成空间在 Hecke 代数中构成一个两侧行理想。
• 构造一个商 Hecke 代数，其具有由完全交换元素索引的典范基 $">c_w$，从而实现当 $z$ 为完全交换元素时，结构常数 $g_{x,y,z}$ 的组合计算，并保证此时 $g_{x,y,z} \in \bbN[v,v^{-1}]$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在类型 $\tilde{A}_{n-1}$ 的仿射 Weyl 群中，321-避免排列是否与完全交换元素一致？
• RQ2 能否证明 $W(\tilde{A}_{n-1})$ 中完全交换元素的集合构成两侧行 Kazhdan–Lusztig 两侧行的并集？
• RQ3 当乘积仅涉及完全交换元素时，Kazhdan–Lusztig 基结构常数在多大程度上可进行组合计算？
• RQ4 能否将 $W(\tilde{A}_{n-1})$ 上的结果推广至与 $GL_n(\bb{C})$ 相关的扩展仿射 Weyl 群？
• RQ5 是否存在一种统一方式，为仿射类型 $A$、$B$、$C$ 和 $D$ 定义一个扩展的 George 群，使其在类型 $A$ 时退化为 $\tilde{W}$？

主要发现

• 在仿射 Weyl 群 $W(\tilde{A}_{n-1})$ 中，321-避免排列恰好是完全交换元素，即此类元素的任意两个约化表达式均通过短 braid 关系相连。
• 在 $W(\tilde{A}_{n-1})$ 中，完全交换元素的集合构成两侧行 Kazhdan–Lusztig 两侧行的并集，该结论通过 Shi 的行分类准则与根系分析建立。
• 完全交换元素集合中所含的不同两侧行 Kazhdan–Lusztig 两侧行的数量为：当 $n$ 为奇数时为 $(n+1)/2$，当 $n$ 为偶数时为 $(n+2)/2$。
• 这些两侧行的完整代表元集合由元素 $s_2 s_4 \cdots s_{2k}$ 给出，其中 $0 \leq k \leq \floor{n/2}$，对应于部分至多为 2 的 $n$ 的分拆。
• ${\bbZ}[v,v^{-1}]$-张成空间 $\{C'_w : w \notin W_c\}$ 构成 Hecke 代数 ${\Cal{H}}(W)$ 中的一个两侧行理想，其中 $W_c$ 表示完全交换元素的集合。
• 商代数 ${\Cal{H}}(W)/J(W)$ 允许一个由 $w \in W_c$ 索引的典范基 $">c_w$，从而实现当 $z$ 为完全交换元素时，结构常数 $g_{x,y,z}$ 的组合计算，并保证此时 $g_{x,y,z} \in \bbN[v,v^{-1}]$。