[论文解读] On a conjecture of H. Wu

Robert Treger|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文證明了 H. Wu 的一個猜想：若緊緻 Kähler 流形的截面曲率為負，且基本群為殘留有限群，則其萬有覆疊是雙全純同構於 ℂⁿ 中的有界區域。作者運用 Kähler 幾何、雙曲性理論與 Moishezon 理論的成果，證明此類流形為代數幾何中的射影流形，並應用 [4] 中的定理，得出萬有覆疊為複 n 維空間中的有界區域。

ABSTRACT

Let X be a compact Kahler manifold with negative sectional curvature and residually finite fundamental group. Then its universal covering is a bounded domain in an affine space.

研究动机与目标

• 解決 H. Wu 對緊緻 Kähler 流形萬有覆疊的猜想，其截面曲率為負。
• 確定萬有覆疊為 ℂⁿ 中有界區域的條件。
• 建立截面曲率為負且基本群殘留有限之緊緻 Kähler 流形的射影性。
• 連結幾何性質（曲率、雙曲性）與複分析與代數性質（Stein 性、Moishezon 性、canonical bundle 的正則性）。

提出的方法

• 將參考文獻 [4] 中的定理應用於所研究流形的萬有覆疊。
• 運用 Wu 的結果：截面曲率為負之緊緻 Kähler 流形的萬有覆疊為 Stein 流形，暗示基本群為「大群」。
• 利用 Ballmann 與 Eberlein 的結果：此類基本群為非阿們群。
• 透過 Gromov 理論建立流形為 Kähler 雙曲。
• 證明 canonical bundle 為擬正則，暗示流形為 Moishezon 流形。
• 根據 Kodaira 準則結論：因負 Ricci 曲率，canonical bundle 為正則，故流形為射影流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，截面曲率為負之緊緻 Kähler 流形的萬有覆疊為 ℂⁿ 中的有界區域？
• RQ2 基本群的殘留有限性如何影響萬有覆疊的幾何性質？
• RQ3 Kähler 雙曲性與 canonical bundle 的正則性是否可用於在此設定下推導射影性？
• RQ4 萬有覆疊的 Stein 性與基本群的「大群」性之間有何關係？
• RQ5 曲率條件如何影響緊緻 Kähler 流形的代數結構？

主要发现

• 若緊緻 Kähler 流形之截面曲率為負，且基本群為殘留有限群，則其萬有覆疊為 ℂⁿ 中的有界區域。
• 根據 Gromov 理論，該流形為 Kähler 雙曲。
• canonical bundle 為擬正則，暗示流形為 Moishezon 流形。
• 負 Ricci 曲率暗示 canonical bundle 為正則，故依 Kodaira 準則，流形為射影流形。
• 根據 Ballmann 與 Eberlein 的結果，基本群為非阿們群。
• 此結果係透過將參考文獻 [4] 中的主要定理應用於射影且 Kähler 雙曲的流形而得出。