[论文解读] Riemannian geometry of Kahler-Einstein currents III: compactness of Kahler-Einstein manifolds of negative scalar curvature

Jian Song, Jacob Sturm+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 59被引用 7

一句话总结

该论文在统一体积界下建立了负 Ricci 曲率 n 维 Kähler-Einstein 流形的紧致性，证明任何序列在 pointed Gromov-Hausdorff 拓扑下收敛于具有受控奇点的完全 Kähler-Einstein 度量空间的有限并集。此外，它进一步表明 Weil-Petersson 度量可唯一地延拓为 KSBA 紧化上的具有有界局部势的 Kähler 当量，从而推出粗模空间的有限体积。

ABSTRACT

Let $\mathcal{K}(n, V)$ be the set of $n$-dimensional compact Kahler-Einstein manifolds $(X, g)$ satisfying $Ric(g)= - g$ with volume bounded above by $V$. We prove that after passing to a subsequence, any sequence $\{ (X_j, g_j)\}_{j=1}^\infty$ in $\mathcal{K}(n, V)$ converges, in the pointed Gromov-Hausdorff topology, to a finite union of complete Kahler-Einstein metric spaces without loss of volume. The convergence is smooth off a closed singular set of Hausdorff dimension no greater than $2n-4$, and the limiting metric space is biholomorphic to an $n$-dimensional semi-log canonical model with its non log terminal locus of complex dimension no greater than $n-1$ removed. We also show that the Weil-Petersson metric extends uniquely to a Kahler current with bounded local potentials on the KSBA compactification of the moduli space of canonically polarized manifolds. In particular, the coarse KSBA moduli space has finite volume with respect to the Weil-Petersson metric. Our results are a high dimensional generalization of the well known compactness results for hyperbolic metrics on compact Riemann surfaces of fixed genus greater than one.

研究动机与目标

• 在统一体积界下建立负数量曲率 Kähler-Einstein 流形的紧致性。
• 描述此类序列的 Gromov-Hausdorff 极限的结构，包括奇点和全纯结构。
• 将 canonically polarized 流形模空间的 Weil-Petersson 度量延拓至 KSBA 紧化。
• 证明延拓后的 Weil-Petersson 度量具有有界局部势，且粗模空间具有有限体积。

提出的方法

• 使用部分 $C^0$-估计和分析估计，在非坍缩情形下控制 Kähler-Einstein 度量的退化。
• 应用几何估计和收敛技术分析极限空间结构与奇点集。
• 利用 canonical 模型的稳定族和半稳定约化，将度量极限与代数几何联系起来。
• 采用切削技术与精细的 $$-正则性定理，在坍缩情形下控制曲率与非坍缩性。
• 通过有限覆盖上度量的上推构造 Weil-Petersson 当量，并通过奇点消解实现全局延拓。
• 应用代数几何工具，包括 Q-Fano 代数簇与半对数 canonical 模型，刻画极限度量空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 序列的 n 维 Kähler-Einstein 流形（满足 Ric(g) = -g 且体积一致有界）在 Gromov-Hausdorff 拓扑下的极限结构是什么？
• RQ2 极限度量空间的奇点如何与底层代数簇的代数几何相关联？
• RQ3 canonically polarized 流形模空间上的 Weil-Petersson 度量能否延拓至 KSBA 紧化？
• RQ4 延拓后的 Weil-Petersson 度量在紧化模空间上是否具有有界局部势？
• RQ5 粗 KSBA 模空间在 Weil-Petersson 度量下是否具有有限体积？

主要发现

• 任何序列在 $\mathcal{K}(n,V)$ 中均在 pointed Gromov-Hausdorff 拓扑下收敛于完全 Kähler-Einstein 度量空间的有限并集，且无体积损失。
• 极限空间双全纯同构于去除复维数至多为 $n-1$ 的非对数终端部分后的 n 维半对数 canonical 模型。
• 极限空间的奇点集的 Hausdorff 维数至多为 $2n-4$，且在该集合外收敛是光滑的。
• Weil-Petersson 度量可唯一地延拓为 KSBA 紧化上的具有有界局部势的 Kähler 当量。
• 粗 KSBA 模空间在 Weil-Petersson 度量下具有有限体积，这由第一陈类的高次幂的有理正性所证明。
• 模空间的体积等于 $ (c_1(\mathcal{L}))^d \in \mathbb{Q}^+ $，通过交点理论确认了有限体积。