[论文解读] On a new definition of fractional differintegrals with Mittag-Leffler kernel

Arran Fernandez, Dumitru Bǎleanu|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于阿坦加纳-巴莱阿努（AB）积分与梅hta-莱夫勒核函数的迭代应用的新分数阶微分积分算子，形成一个具有两参数的算子族，该算子族满足半群性质且有界。其核心贡献在于提出了一种新颖的分数阶微积分模型，在保持非局部性的同时，通过半群结构提升了数学一致性，从而能够精确求解具有变阶动态的分数阶常微分方程。

ABSTRACT

We introduce and study the properties of a new family of fractional differential and integral operators which are based directly on an iteration process and therefore satisfy a semigroup property. We also solve some ODEs in this new model and discuss applications of our results.

研究动机与目标

• 开发一种满足半群性质的新分数阶微积分模型，以解决现有分数阶算子中的关键局限性。
• 通过迭代其积分表达式，将阿坦加纳-巴莱阿努模型扩展为一个两参数的微分积分算子族。
• 建立新算子的基本分析性质，如有界性及拉普拉斯变换行为。
• 在新模型中求解分数阶常微分方程，并在变阶动态系统（如电子电路）中展示其应用。
• 为建模具有非局部性与复杂性的系统提供一个数学上一致的框架，同时具备改进的结构性质。

提出的方法

• 通过迭代阿坦加纳-巴莱阿努分数阶积分定义新微分积分算子，导出涉及阶数递增的黎曼-刘维尔积分的级数展开形式。
• 利用狄拉克δ函数与幂律核函数，以分布形式表达算子，从而实现解析操作。
• 推导新算子的拉普拉斯变换，揭示其在频域中的行为特征。
• 通过验证阶数为α与β的两个算子的复合结果为阶数为α+β的算子，严格证明了半群性质。
• 采用幂级数试探法求解分数阶常微分方程，其中系数通过等价级数展开后导出的递推关系确定。
• 将该模型应用于描述电子电路中弛豫行为的变阶常微分方程，解以$t^{m\alpha}$的幂级数形式表达。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过AB积分的迭代构造出一种满足半群性质的新分数阶微分积分算子？
• RQ2 该新两参数分数阶算子在复合运算下表现如何？是否保持有界性与解析性？
• RQ3 该新模型能否用于求解具有变阶动态的分数阶常微分方程？其解的结构特性是什么？
• RQ4 与现有模型（如AB模型与黎曼-刘维尔模型）相比，该新算子在数学一致性和适用性方面有何优势？
• RQ5 梅塔-莱夫勒函数及参数$B(\alpha)$在塑造新分数阶微积分的动力学行为中起什么作用？

主要发现

• 新分数阶微分积分算子满足半群性质，即阶数为α与β的两个算子的复合结果为阶数为α+β的算子，相较于非半群模型具有显著改进。
• 该算子在$L^1[a,b]$上有界，确保了函数空间中的稳定性与适定性。
• 推导出新算子的拉普拉斯变换，其形式涉及梅塔-莱夫勒函数，保留了AB模型的关键分析特性。
• 得到了分数阶常微分方程$\mathcal{D}_{0+}^{(\alpha,\beta)}f(t) = -Cf(t) + q(t)$的解，其形式为$t^{m\alpha}$的幂级数，系数通过递推关系确定。
• 对于初值条件，有$a_0 = \frac{c_0}{C + \left(\frac{B(\alpha)}{1-\alpha}\right)^\beta}$，其值依赖于激励函数与系统参数。
• 解的结构表明，系统动力学由激励函数与通过广义二项式系数及Γ函数编码的记忆核共同决定。