[论文解读] On a Non-Standard Stochastic Control Problem

Ivar Ekeland, Traian A. Pirvu|ArXiv.org|Jun 25, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文研究了在非指数贴现下的Merton投资组合优化问题，该问题导致时间不一致偏好。通过定义一个由积分方程构成的值函数，提出了均衡策略，并在CRRA效用下证明了解的存在性与唯一性，从而通过一种新颖的积分-微分方程框架，将先前工作扩展至一般贴现函数。

ABSTRACT

This paper considers the Merton portfolio management problem. We are concerned with non-exponential discounting of time and this leads to time inconsistencies of the decision maker. Following Ekeland and Pirvu 2006, we introduce the notion of equilibrium policies and we characterize them by an integral equation. The main idea is to come up with the value function in this context. If risk preferences are of CRRA type, the integral equation which characterizes the value function is shown to have a solution which leads to an equilibrium policy. This work is an extension of Ekeland and Pirvu 2006.

研究动机与目标

• 解决由于非指数贴现引起的随机投资组合优化中的时间不一致问题。
• 将均衡策略框架扩展至先前工作[6]所考虑的贴现特例之外。
• 通过一个推广经典HJB方程的积分方程，刻画值函数。
• 在CRRA效用偏好下，证明均衡策略的存在性与唯一性。
• 为不同贴现函数下均衡策略的数值比较提供基础。

提出的方法

• 在连续时间框架下形式化Merton投资组合问题，包含无风险资产和由布朗运动驱动的风险股票。
• 定义满足可积性与非负性约束的可接受投资-消费策略。
• 将均衡策略定义为：在预期未来持续遵守的前提下，决策者无微小偏离的动机。
• 通过一个包含非恒定贴现和非局部项的积分方程推导值函数。
• 建立积分方程与一个类似HJB方程的积分-微分方程之间的联系，其非局部性源于时间不一致的贴现。
• 通过将问题约化为一个一维常微分方程组，证明在CRRA偏好下解的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非指数贴现的随机控制问题中，如何定义均衡策略？
• RQ2 在一般贴现下，确保刻画均衡策略的值函数存在的条件是什么？
• RQ3 先前工作中仅考虑特殊贴现情形的值函数积分方程方法，能否推广至更一般情况？
• RQ4 该积分方程方法在CRRA效用下是否能产生适定问题并保证唯一解？
• RQ5 在非恒定贴现率存在的情况下，值函数的结构与经典HJB方程有何不同？

主要发现

• 对于非标准随机控制问题，其值函数由一个推广经典HJB方程的积分方程刻画。
• 证明该积分方程等价于一个带有非局部项的积分-微分方程，该非局部性源于非恒定贴现。
• 在CRRA效用偏好下，该积分方程可约化为一个一维方程，该方程存在唯一且光滑的解。
• 通过从指数贴现分量导出的一维常微分方程组，证明了在CRRA偏好下该积分方程解的存在性与唯一性。
• 当一般贴现函数通过指数和逼近时，解在该逼近下保持稳定，确保了该框架的鲁棒性。
• 该框架允许对不同贴现函数下的均衡策略进行数值处理，从而支持比较分析。