[论文解读] On a SAV-MAC scheme for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes Phase Field Model

Xiaoli Li, Jie Shen|arXiv (Cornell University)|May 21, 2019

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的SAV-MAC有限差分格式，用于Cahn-Hilliard-Navier-Stokes相场模型，时间方向采用标量辅助变量（SAV）方法，空间方向采用MAC（标记与细胞）有限差分法。该格式为线性格式，时间与空间均为二阶精度，无条件能量稳定，且计算高效，首次为相场变量、化学势、速度和压力建立了无需假设非线性势能具有统一Lipschitz连续性的严格二阶误差估计。

ABSTRACT

We construct a numerical scheme based on the scalar auxiliary variable (SAV) approach in time and the MAC discretization in space for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes phase field model, and carry out stability and error analysis. The scheme is linear, second-order, unconditionally energy stable and can be implemented very efficiently. We establish second-order error estimates both in time and space for phase field variable, chemical potential, velocity and pressure in different discrete norms. We also provide numerical experiments to verify our theoretical results and demonstrate the robustness and accuracy of the our scheme.

研究动机与目标

• 开发一种全离散数值格式，使Cahn-Hilliard-Navier-Stokes相场模型在离散层面保持能量守恒定律。
• 克服现有凸 splitting 和稳定化线性隐式格式的局限性，后者或导致非线性系统，或缺乏二阶能量稳定性。
• 构建一种线性、二阶、无条件能量稳定的格式，计算高效，适用于长时间模拟。
• 首次为全离散线性格式应用于Cahn-Hilliard-Stokes系统建立严格的时间与空间二阶误差估计，无需对非线性势能假设统一Lipschitz条件。

提出的方法

• 该格式在时间方向采用标量辅助变量（SAV）方法，以解耦非线性系统，实现线性、二阶、无条件能量稳定的时间离散化。
• 空间离散采用在交错网格上的MAC（标记与细胞）有限差分法，确保速度场离散散度为零，并保持压力与速度的耦合一致性。
• SAV方法将原系统转化为具有常系数的新系统，使得每个时间步可通过解耦的线性系统高效求解。
• 通过构造模拟连续能量耗散结构的离散能量律，证明了离散能量稳定性。
• 误差估计通过结合能量方法、离散Sobolev不等式以及多种离散范数下的稳定性估计推导得出。
• 格式采用均匀结构化笛卡尔网格实现，边界条件处理一致，变量在交错网格上放置。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于SAV方法，为Cahn-Hilliard-Navier-Stokes相场模型构造一种线性、二阶、无条件能量稳定的格式？
• RQ2 能否在不同离散范数下，为相场变量、化学势、速度和压力建立严格的二阶误差估计？
• RQ3 所提出的SAV-MAC格式是否在保持无条件能量稳定性的同时，确保计算效率？
• RQ4 误差分析能否在不假设自由能泛函中非线性势能具有统一Lipschitz条件的前提下完成？

主要发现

• 所提出的SAV-MAC格式在适当的离散范数下，对相场变量、化学势、速度和压力均实现了时间与空间的二阶精度。
• 该格式无条件能量稳定，可在离散层面保持连续能量耗散律，且无需时间步长限制。
• 由于SAV重构，该方法为线性且解耦，每个时间步仅需依次求解线性系统，实现高效求解。
• 首次为Cahn-Hilliard-Stokes系统建立了全离散线性格式的严格二阶误差估计，且无需对非线性势能假设统一Lipschitz条件。
• 数值实验验证了理论收敛速率，并展示了该格式在模拟相分离与流体流动过程中的鲁棒性与高精度。
• 该格式适用于Cahn-Hilliard-Navier-Stokes模型，但完整Navier-Stokes情形的误差估计尚需进一步发展，涉及对非线性项采用高阶迎风格式。