[论文解读] On Advice Complexity of the k-server Problem under Sparse Metrics

Sushmita Gupta, Shahin Kamali+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2013

Optimization and Search Problems参考文献 19被引用 11

一句话总结

本文研究了在稀疏度量空间上 k-服务器问题的建议复杂度，表明即使在简单路径上，实现 1-竞争力也至少需要 Ω(n) 位建议；同时提出了使用 O(n(log α + log log N)) 位建议即可实现常数竞争力比的算法，适用于树宽为 α 的图。通过基于泛化图的策略建立了紧致的界限，并将其应用于平面图、AT-自由图和弦图，实现了使用 O(n log log N) 建议的 3-竞争力算法。

ABSTRACT

We consider the k-server problem under the advice model of computation when the underlying metric space is sparse. On one side, we show that an advice of size Ω(n) is required to obtain a 1-competitive algorithm for sequences of size n, even for the 2-server problem on a path metric of size N >= 5. Through another lower bound argument, we show that at least (n/2)(log α - 1.22) bits of advice is required to obtain an optimal solution for metric spaces of treewidth α, where 4 <= α < 2k. On the other side, we introduce Θ(1)-competitive algorithms for a wide range of sparse graphs, which require advice of (almost) linear size. Namely, we show that for graphs of size N and treewidth α, there is an online algorithm which receives $O(n (log α + log log N))$ bits of advice and optimally serves a sequence of length n. With a different argument, we show that if a graph admits a system of μ collective tree (q,r)-spanners, then there is a (q+r)-competitive algorithm which receives O(n (log μ + log log N)) bits of advice. Among other results, this gives a 3-competitive algorithm for planar graphs, provided with O(n log log N) bits of advice.

研究动机与目标

• 确定在稀疏度量空间上的 k-服务器问题中，实现 1-竞争力在线算法所需的最小建议大小。
• 为路径上以及树宽为 α 的一般度量空间中的 2-服务器问题建立建议复杂度的下界。
• 设计建议大小较小且在稀疏图上可实现常数竞争力比的高效在线算法。
• 探讨集体树泛化图在实现低建议、常数竞争力算法中的作用。
• 将建议复杂度结果扩展至特定图族，如平面图、AT-自由图、弦图和单位圆盘图。

提出的方法

• 证明在路径及树宽 α ≥ 4 的度量空间上，实现 1-竞争力至少需要 Ω(n) 位建议。
• 引入一种基于集体树 (q,r)-泛化图的框架，通过树近似模拟最优服务器移动。
• 每请求使用 O(log μ + log log N) 位建议选择最佳泛化图，并在树上定位正确服务器。
• 利用树分解和泛化图树上的最近公共祖先（LCA）查询，高效地路由服务器。
• 通过长毛虫分解（caterpillar decomposition）在某些情况下将每请求的建议大小减少至 O(log log N) 位。
• 构建一种 k-服务器算法，使服务器在泛化图树上移动以模拟最优离线路径，实现 (q+r)-竞争力。

实验结果

研究问题

• RQ1 在稀疏度量空间上的 k-服务器问题中，实现 1-竞争力所需的最小建议大小是多少？
• RQ2 图的树宽如何影响 k-服务器问题的建议复杂度？
• RQ3 集体树泛化图能否用于设计低建议、常数竞争力的 k-服务器算法？
• RQ4 在平面图、AT-自由图和弦图上，k-服务器问题的建议复杂度是多少？
• RQ5 能否将建议大小减少至次线性或近线性水平，同时保持常数竞争力？

主要发现

• 对于大小 N ≥ 5 的路径上的 2-服务器问题，实现 1-竞争力至少需要 Ω(n) 位建议。
• 在树宽为 α 的度量空间中，若 4 ≤ α < 2k，则实现最优性至少需要 n/2(log α − 1.22) 位建议。
• 对于大小为 N、树宽为 α 的图，存在一种使用 O(n(log α + log log N)) 位建议的算法，可实现 1-竞争力。
• 若图具有 μ 个集体树 (q,r)-泛化图，则存在一种使用 O(n(log μ + log log N)) 位建议的算法，可实现 (q+r)-竞争力。
• 对于平面图，存在一种 3-竞争力算法，使用 O(n log log N) 位建议，因为平面图具有 O(log N) 个集体 (3,0)-泛化图。
• 相同建议大小也适用于 AT-自由图、弦图和单位圆盘图，分别实现 3-竞争力和 15-竞争力算法。