[论文解读] On Bahadur Efficiency of Power Divergence Statistics

Peter Harremoës, Igor Vajda|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2010

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 8被引用 4

一句话总结

该论文证明，在连续替代假设下，即使原假设非均匀，信息分歧统计量（α=1）的Bahadur效率也无限高于α>1的幂分歧统计量，且当分箱数增加时成立。此外，它表明0<α≤1的幂分歧统计量彼此可比较，且比α>1的统计量更高效，解决了先前的技术模糊性，并在更严格的观测增长速率和分布假设条件下扩展了早期结果。

ABSTRACT

It is proved that the information divergence statistic is infinitely more Bahadur efficient than the power divergence statistics of the orders $α&gt;1$ as long as the sequence of alternatives is contiguous with respect to the sequence of null-hypotheses and the the number of observations per bin increases to infinity is not very slow. This improves the former result in Harremoës and Vajda (2008) where the the sequence of null-hypotheses was assumed to be uniform and the restrictions on on the numbers of observations per bin were sharper. Moreover, this paper evaluates also the Bahadur efficiency of the power divergence statistics of the remaining positive orders $0&lt; α\leq 1.$ The statistics of these orders are mutually Bahadur-comparable and all of them are more Bahadur efficient than the statistics of the orders $α&gt; 1.$ A detailed discussion of the technical definitions and conditions is given, some unclear points are resolved, and the results are illustrated by examples.

研究动机与目标

• 将先前针对幂分歧统计量的Bahadur效率结果，从均匀原假设和更严格的每格观测增长条件，扩展至更一般情形。
• 评估此前未分析的范围0<α≤1的幂分歧统计量的Bahadur效率。
• 解决在连续替代背景下与Bahadur效率相关的定义和条件中的技术模糊性。
• 对所有α>0的Bahadur效率进行严格比较，特别强调α=1和0<α≤1对α>1的显著优势。
• 通过一致性和强Bahadur函数条件，确认结果在强意义下的成立。

提出的方法

• 采用在连续替代下统计检验的Bahadur效率框架，其中原假设与备择分布之间的差异收敛于一个正极限。
• 应用Csiszár的幂分歧族，其分歧函数为Dα(P,Q) = 1/(α(α−1)) × (∑pj^α qj^{1−α} − 1)（当α≠1时），以及D1(P,Q) = ∑pj ln(pj/qj)（当α=1时）。
• 通过控制检验统计量收敛速率的序列cα(n)，推导每个α对应的Bahadur函数gα(Δ)的渐近行为。
• 运用技术引理比较不同α值之间的Bahadur效率，特别是通过cα(n)序列的渐近比较，证明对所有α>1有BE(D1,n; Dα,n) = ∞。
• 引入并应用条件C1和C2，以确保Bahadur效率在强意义下被正确定义，基于检验统计量的收敛性和一致性。
• 使用具体序列kn（分箱数）和增长速率的实例，验证在各种假设下的理论结果，包括kn → ∞以及kn^{b(α)+1} ln n / n → 0。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非均匀原假设下，信息分歧统计量（α=1）与α>1的幂分歧统计量相比，其Bahadur效率如何？
• RQ2 在0<α≤1范围内，幂分歧统计量的Bahadur效率如何排序？它们与α>1的统计量相比如何？
• RQ3 当原分布非均匀且每格观测数缓慢增长时，D1,n相对于Dα,n的Bahadur效率是否可能无限大？
• RQ4 在分箱数kn和分歧参数α的何种增长条件下，Bahadur效率可被正确定义并可在不同α值间比较？
• RQ5 结果是否在强意义下成立，即在强一致性和强Bahadur函数条件下成立？

主要发现

• 在连续替代下，即使原分布非均匀，信息分歧统计量（α=1）的Bahadur效率也无限高于任何α>1的幂分歧统计量。
• 对于0<α≤1，所有幂分歧统计量彼此之间均为Bahadur可比较，且全部比α>1的统计量更高效。
• 对于所有α>1，D1,n相对于Dα,n的Bahadur效率为无穷大（即BE(D1,n; Dα,n) = ∞），即使每格观测数缓慢增长，只要替代序列是连续的即成立。
• 该结果在弱于先前工作的条件下成立：它去除了对均匀原分布的假设，并放宽了对每格观测增长速率的约束。
• Bahadur效率在强意义下被确立，因为所推导条件下同时满足强一致性和强Bahadur函数。
• 本文解决了技术定义和条件中的模糊性，特别是关于序列cα(n)的渐近行为以及效率比较框架有效性的相关问题。