[论文解读] On biharmonic submanifolds in non-positively curved manifolds and $\varepsilon$-superbiharmonic submanifolds

Yong Luo|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 3

一句话总结

本文在非正曲率黎曼流形中的双调和子流形满足均曲率向量的 $L^p$-范数积分条件时，建立了其必须极小的充分条件。此外，该结果进一步推广至 $\varepsilon$-超双调和子流形，推广了先前的工作，并在曲率流形中提供了新的极小性判别准则。

ABSTRACT

In the biharmonic submanifolds theory there is a generalized Chen's conjecture which states that biharmonic submanifolds in a Riemannian manifold with non-positive sectional curvature must be minimal. This conjecture turned out false by a counter example of Y-L. Ou and L. Tang in \cite{Ou-Ta}. However it remains interesting to find out sufficient conditions which guarantee this conjecture to be true. In this note we prove that: (a) Every complete biharmonic submanifolds (resp. hypersurfaces) $(M, g)$ in a Riemnnian manifold $(N, h)$ with non-positive sectional curvature (resp. Ricci curvature) which satisfies an integral condition: for some $p\in (0, +\infty)$, $\int_{M}|\vec{H}|^{p}du_g 0$ must be minimal. We also consider $\varepsilon$-superbiharmonic submanifolds defined recently in \cite{Wh} by G. Wheeler and prove similar results for $\varepsilon$-superbiharmonic submanifolds, which generalize the results in \cite{Wh}.

研究动机与目标

• 研究陈氏广义猜想在非正曲率流形中的双调和子流形是否成立。
• 识别出保证双调和子流形为极小的充分积分条件，即使存在已知反例。
• 将分析扩展至 $\varepsilon$-超双调和子流形，并推广该类中的近期成果。
• 利用均曲率向量的 $L^p$-范数，提供一个更精细的极小性判别准则。

提出的方法

• 分析依赖于子流形 $M$ 上均曲率向量 $\vec{H}$ 的 $L^p$-范数的积分估计。
• 应用博赫纳型公式，并结合流形 $N$ 的曲率假设，推导出 $\vec{H}$ 的消失结果。
• 利用截面曲率（或对超曲面而言为 Ricci 曲率）的非正性来控制 $\vec{H}$ 的增长。
• 引入并分析 $\varepsilon$-超双调和子流形类，其通过双调和方程的扰动定义。
• 该方法涉及在 $M$ 上对微分恒等式进行积分，并在完备性假设下应用散度定理。
• 关键技术步骤是证明：在给定的曲率和完备性条件下，$|\vec{H}|$ 的 $L^p$-可积性迫使 $\vec{H} \equiv 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非正曲率流形中，$|\vec{H}|$ 的何种积分条件可使双调和子流形成为极小？
• RQ2 在均曲率向量的 $L^p$-范数条件下，广义陈猜想是否可被恢复？
• RQ3 $\varepsilon$-超双调和子流形在非正曲率环境空间中表现如何？
• RQ4 子流形的完备性在确保极小性中起何种作用？
• RQ5 这些结果在多大程度上推广了关于双调和子流形的先前定理？

主要发现

• 在具有非正截面曲率的黎曼流形 $N$ 中，若对某个 $p \in (0, +\infty)$，有 $\int_M |\vec{H}|^p \, du_g < \infty$，则任一完备的双调和子流形 $M$ 必为极小。
• 对超曲面而言，若 $N$ 具有非正 Ricci 曲率，且对某个 $p \in (0, +\infty)$，有 $\int_M |\vec{H}|^p \, du_g < \infty$，则极小性成立。
• 在给定的曲率和完备性假设下，$|\vec{H}|$ 的 $L^p$-可积性意味着 $\vec{H} \equiv 0$。
• 结果可推广至 $\varepsilon$-超双调和子流形，推广了文献 [Wh] 中的发现。
• 本文提供了一个新的极小性充分条件，避免了对 $\vec{H}$ 的逐点有界性要求。
• 子流形 $M$ 的完备性在论证中至关重要，因为它使得能够应用散度型定理，从而得出 $\vec{H} \equiv 0$ 的结论。