[论文解读] On Calabi's extremal metric and properness

Weiyong He|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 38被引用 4

一句话总结

该论文将陈-程在常数量曲率凯勒度量方面的突破性工作扩展至卡拉比极值度量，证明了极值度量存在的充要条件是：修正的Mabuchi能量在极值向量场的中心化子作用下是恰当的。作者引入了可约化恰当性与约化恰当性这两个等价条件，表明恰当性可仅通过不变度量来检验，并建立了极值度量存在性与这些恰当性条件之间的等价关系。

ABSTRACT

In this paper we extend recent breakthrough of Chen-Cheng \cite{CC1, CC2, CC3} on existence of constant scalar Kähler metric on a compact Kähler manifold to Calabi's extremal metric. Our argument follows \cite{CC3} and there are no new a prior estimates needed, but rather there are necessary modifications adapted to the extremal case. We prove that there exists an extremal metric with extremal vector $V$ if and only if the modified Mabuchi energy is proper, modulo the action the subgroup in the identity component of automorphism group which commutes with the flow of $V$. We introduce two essentially equivalent notions, called \emph{reductive properness} and \emph{reduced properness}. We observe that one can test reductive properness/reduced properness only for invariant metrics. We prove that existence of an extremal metric is equivalent to reductive properness/reduced properness of the modified Mabuchi energy.

研究动机与目标

• 将陈-程关于常数量曲率凯勒度量的存在性结果推广至卡拉比极值度量。
• 建立修正的Mabuchi能量的恰当性准则，以刻画极值度量的存在性。
• 引入并分析两个等价概念——可约化恰当性与约化恰当性，用于检验修正的Mabuchi能量的恰当性。
• 证明修正的Mabuchi能量的恰当性可仅通过极值向量场中心化子作用下的不变度量来检验。
• 证明极值度量的存在性等价于修正的Mabuchi能量的可约化或约化恰当性。

提出的方法

• 将陈-程关于常数量曲率度量的证明策略适配至极值情形，无需引入新的先验估计。
• 定义相对于极值向量场 $V$ 的修正Mabuchi能量 ${\mathcal{K}}_X$，调整能量泛函以适应非常数量曲率的情形。
• 引入 $G$-不变性，其中 $G$ 是与 $V$ 流可交换的自同构群的单位连通分支，并定义 $d_{1,G}$-距离为在 $G$-轨道上的下确界。
• 利用修正Mabuchi能量沿 $d_1$-测地线的凸性，以及达瓦斯理论中凯勒势空间 ${\mathcal{H}}$ 的几何完备化。
• 应用拟凸分析理论中的紧致性结果以及 ${\mathcal{H}}$ 的几何完备化，提取能量有界但 $d_1$-距离发散的序列的极限点。
• 证明：若修正的Mabuchi能量不恰当，则可构造一个能量为零的极限度量，与 $G$ 在极值度量上的传递作用矛盾，从而确立恰当性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，紧致凯勒流形会允许卡拉比极值度量存在？
• RQ2 修正的Mabuchi能量的恰当性与极值度量的存在性之间有何关系？
• RQ3 能否在极值向量场中心化子作用下的不变度量上有效检验恰当性条件？
• RQ4 在极值度量的背景下，可约化恰当性与约化恰当性之间存在何种关系？
• RQ5 修正的Mabuchi能量是否当且仅当极值度量存在时才是恰当的？

主要发现

• 在紧致凯勒流形上，极值度量存在的充要条件是：修正的Mabuchi能量在与极值向量场 $V$ 的流可交换的 $\text{Aut}_0(M)$ 的子群作用下是恰当的。
• 可约化恰当性与约化恰当性是两个等价概念，可刻画极值度量的存在性。
• 修正的Mabuchi能量的恰当性可仅通过 $G$-不变度量来检验，其中 $G$ 是 $V$ 在 $\text{Aut}_0(M)$ 中的中心化子。
• 修正的Mabuchi能量满足如下下界：${\mathcal{K}}_X(\phi) \geq C d_{1,G}(0,\phi) - D$，其中 $C,D > 0$，该不等式刻画了恰当性。
• 极值度量的存在性蕴含修正的Mabuchi能量是 $d_{1,G}$-恰当的，该结论通过测地线极限与能量衰减的反证法得以证明。
• 该证明依赖于修正的Mabuchi能量沿 $d_1$-测地线的凸性，以及凯勒势空间几何完备化中的紧致性。