[论文解读] On compact Hermitian manifolds with flat Gauduchon connections

Bo Yang, Fangyang Zheng|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文研究了具有平坦 s-Gauduchon 连接的紧致 Hermitian 流形，其中 s-Gauduchon 连接是一族在 Chern 连接与 Bismut 连接之间插值的 Hermitian 连接。利用曲率恒等式和最小 Gauduchon 连接（s = 2/3）的 Bochner 公式，作者证明：任何具有平坦 s-Gauduchon 连接的紧致 Hermitian 曲面，除非 s = 2，否则必为 Kähler 流形；此时存在非 Kähler 的例子（等腰 Hopf 曲面）。在高维情况下，当 s ≥ 4 + 2√3 或 s ≤ 4 − 2√3（s ≠ 0）时，平坦性同样意味着度量为 Kähler。

ABSTRACT

Given a Hermitian manifold $(M^n,g)$, the Gauduchon connections are the one parameter family of Hermitian connections joining the Chern connection and the Bismut connection. We will call $ abla^s = (1-\frac{s}{2}) abla^c + \frac{s}{2} abla^b$ the $s$-Gauduchon connection of $M$, where $ abla^c$ and $ abla^b$ are respectively the Chern and Bismut connections. It is natural to ask when a compact Hermitian manifold could admit a flat $s$-Gauduchon connection. This is related to a question asked by Yau \cite{Yau}. The cases with $s=0$ (a flat Chern connection) or $s=2$ (a flat Bismut connection) are classified respectively by Boothby \cite{Boothby} in the 1950s or by Q. Wang and the authors recently \cite{WYZ}. In this article, we observe that if either $s\geq 4+2\sqrt{3} \approx 7.46$ or $s\leq 4-2\sqrt{3}\approx 0.54$ and $s eq 0$, then $g$ is Kähler. We also show that, when $n=2$, $g$ is always Kähler unless $s=2$. Note that non-Kähler compact Bismut flat surfaces are exactly those isosceles Hopf surfaces by \cite{WYZ}.

研究动机与目标

• 对 admit 扁平 s-Gauduchon 连接（即连接 Chern 与 Bismut 的一参数族 Hermitian 连接）的紧致 Hermitian 流形进行分类。
• 通过确定平坦 Hermitian 连接何时迫使流形为 Kähler，解决 Yau 在 Hermitian 几何中关于 holonomy 降低的猜想。
• 将已知的平坦 Chern（s=0）与平坦 Bismut（s=2）连接的分类结果推广至中间值 s。
• 研究非 Kähler 紧致 Hermitian 流形是否可能具有平坦 s-Gauduchon 连接（s ≠ 0,2）。
• 在高维情况下，确定非 Kähler s-Gauduchon 平坦流形可能存在的 s 的精确界限。

提出的方法

• 利用扭张量 T 及其对偶 η 推导 s-Gauduchon 连接的曲率恒等式，特别分析曲率分量的结构。
• 对函数 f = log(λ + ε)（其中 λ = |T|²）应用 Bochner 公式，研究在 s-Gauduchon 连接平坦时扭张量的行为。
• 利用恒等式 ∂∂̄f ∧ ω = (曲率项之和) ω² 推导出微分不等式，当 s = 2/3 时强制 λ ≡ 0，从而推出度量为 Kähler。
• 分析曲率恒等式中 ∫|T|²ωⁿ 的系数，以确定平坦性何时强制 T ≡ 0，从而推出度量为 Kähler。
• 对复曲面情形应用恒等式 (3s−2)(s−2)∫|T|²ω² = 0，证明当 s ≠ 2 且 s ≠ 2/3 时，平坦性意味着度量为 Kähler。
• 将一般曲率恒等式特化至 n=2 且 s=2/3 的情形，通过 Bochner 公式证明最小 Gauduchon 连接情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 s 值，具有平坦 s-Gauduchon 连接的紧致 Hermitian 流形必为 Kähler？
• RQ2 非 Kähler 紧致 Hermitian 流形是否可能具有平坦 s-Gauduchon 连接（s ≠ 0,2）？
• RQ3 在维度 n ≥ 3 时，非 Kähler s-Gauduchon 平坦流形可能存在的 s 的精确界限是什么？
• RQ4 在紧致 Hermitian 曲面中，最小 Gauduchon 连接（s = 2/3）的平坦性是否强制度量为 Kähler？
• RQ5 涉及扭张量与 Gauduchon 参数 s 的曲率恒等式，如何约束 s-Gauduchon 平坦流形的几何结构？

主要发现

• 对于紧致 Hermitian 曲面（n=2），若 s-Gauduchon 连接平坦且 s ≠ 2，则度量必为 Kähler，因此该曲面为复环面的有限商。
• 唯一存在非 Kähler 紧致 Hermitian 曲面且具有平坦 s-Gauduchon 连接的情形恰好出现在 s = 2 时，对应于等腰 Hopf 曲面。
• 对于 n ≥ 3，若 s ≥ 4 + 2√3 ≈ 7.46 或 s ≤ 4 − 2√3 ≈ 0.54（且 s ≠ 0），则 s-Gauduchon 连接的平坦性意味着度量为 Kähler。
• 区间 (4−2√3, 4+2√3) 是高维情况下非 Kähler s-Gauduchon 平坦流形可能存在的唯一范围。
• 对于 n=3，潜在非 Kähler 例子的临界区间约为 [0.56, 4.77]，基于根 bₙ± 的计算。
• 在局部共形 Kähler 情形下，s-Gauduchon 连接的平坦性强制 T ≡ 0（从而为 Kähler），除非 s 为两个根 bₙ± 之一，而这两个值是唯一允许非 Kähler 解的情形。