[论文解读] On Difference of SOS Decompositions and Difference of SOS Convex Decompositions for Polynomials

Yi-Shuai Niu|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文提出新颖的分解方法，将任意多元多项式表示为平方和（SOS）之差（DSOS）以及平方和凸（DSOSC）之差多项式。通过证明DSOS与DSOSC多项式构成与ℝ[𝐱]同构的向量空间，作者开发了构造这些分解的算法，从而通过DC规划高效求解一般多项式优化问题，并在示例中验证了正确性与性能。

ABSTRACT

We propose in this paper some decomposition methods for reformulating any multivariate polynomial into DSOS (Difference of Sums-Of-Squares) and DSOSC (Difference of Sums-Of-Squares Convex) polynomials. We firstly prove that the set of all DSOS and DSOSC polynomials are vector space and equivalent to $\R[\x]$. Then, based on this equivalence, we propose several algorithms to formulate any polynomial into DSOS decompositions, and extend these approaches to generate DSOSC decompositions (i.e., DC (Difference of Convex) decompositions) which could be further used to solve general polynomial optimization via DC programming approaches. Some examples are given in each algorithm to illustrate how to use our methods in practice, and demonstrate the correctness and good performance of our decomposition techniques.

研究动机与目标

• 开发系统化的分解技术，将任意多元多项式重构为DSOS与DSOSC形式。
• 建立DSOS与DSOSC多项式集合构成与ℝ[𝐱]同构的向量空间，确保表示的完备性。
• 将这些分解扩展为可在多项式优化问题中应用的实际算法。
• 通过利用DSOSC分解中的凸性结构，使DC规划技术能够应用于一般多项式优化问题。

提出的方法

• 证明DSOS多项式集合构成与ℝ[𝐱]同构的向量空间，确保每个多项式均可进行DSOS分解。
• 开发基于代数运算与平方和表示的算法程序，用于计算DSOS分解。
• 通过在平方和结构中引入凸性约束，将DSOS框架扩展至DSOSC分解。
• 利用DSOSC与DC分解之间的等价性，使DC规划方法可应用于多项式优化。
• 在示例多项式上实现并测试算法，以验证其正确性与性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个多元多项式均可表示为平方和之差（DSOS）多项式？
• RQ2 DSOS多项式集合在线性组合下是否封闭，且与完整多项式环ℝ[𝐱]同构？
• RQ3 能否通过算法程序系统化地计算DSOS分解以实现实际应用？
• RQ4 能否进一步结构化DSOS分解，以获得适用于DC规划的DSOSC（凸平方和之差）形式？
• RQ5 所提出的分解方法在求解一般多项式优化问题方面效果如何？

主要发现

• 所有DSOS多项式的集合构成一个与ℝ[𝐱]同构的向量空间，保证每个多项式均可进行DSOS分解。
• 所有DSOSC多项式的集合也构成一个与ℝ[𝐱]等价的向量空间，确保基于凸性的分解具有完备表示能力。
• 所提出的算法成功生成了测试多项式的DSOS与DSOSC分解，验证了其正确性与实际可行性。
• DSOSC分解使DC规划技术可直接应用于一般多项式优化问题。
• 实证示例证实了该分解技术在实践中具有高效性与良好性能。