[论文解读] On Distribution depend SDEs with singular drifts

Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文建立了具有奇异漂移系数的分布依赖随机微分方程（SDEs）的适定性。在扩散系数具有温和正则性和非退化性条件下，证明了解的存在性，同时对漂移系数提出了可积性和广义总变差距离下的连续性要求；在漂移系数满足额外的Lipschitz型连续性假设下，证明了唯一性。

ABSTRACT

We investigate the well-posedness of distribution dependent SDEs with singular coefficients. Existence is proved when the diffusion coefficient satisfies some non-degeneracy and mild regularity assumptions, and the drift coefficient satisfies an integrability condition and a continuity condition with respect to the (generalized) total variation distance. Uniqueness is also obtained under some additional Lipschitz type continuity assumptions.

研究动机与目标

• 解决漂移系数奇异（即非光滑）时分布依赖SDE的适定性问题。
• 识别确保解的存在性与唯一性的漂移系数和扩散系数的最小条件。
• 将具有分布依赖性的SDE理论扩展至包含奇异漂移的场景，此类漂移在平均场模型中十分常见。
• 在广义总变差距离下，基于Lipschitz型连续性假设建立唯一性。

提出的方法

• 通过在扩散系数上施加非退化性和温和正则性假设，以确保解的存在性。
• 对漂移系数施加可积性条件，以控制其奇异行为。
• 引入漂移系数关于广义总变差距离的连续性条件，以处理分布依赖性。
• 在Lipschitz型连续性假设下，应用不动点法或压缩映射原理，证明路径唯一性。
• 采用适用于分布依赖SDE的随机分析与概率论技术。
• 依赖广义总变差距离作为度量，以衡量漂移系数相对于解的分布的连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有奇异漂移系数的分布依赖SDE admits 弱解？
• RQ2 如何控制漂移系数对解分布的依赖性，以确保解的存在性？
• RQ3 在存在奇异性的情况下，漂移系数的何种正则性条件足以保证路径唯一性？
• RQ4 能否在广义总变差距离下的Lipschitz型连续性假设下建立唯一性？
• RQ5 扩散系数的非退化性在确保适定性中起到何种作用？

主要发现

• 当扩散系数满足非退化性和温和正则性条件时，解的存在性得以确立。
• 漂移系数必须满足可积性条件以及相对于广义总变差距离的连续性条件。
• 在漂移系数相对于广义总变差距离满足额外的Lipschitz型连续性假设下，解的唯一性得以获得。
• 研究结果将分布依赖SDE的理论扩展至奇异漂移情形，拓宽了其在平均场模型中的适用性。
• 该框架允许漂移项为奇异的（无需有界或光滑），只要其满足所提出的可积性与连续性标准即可。
• 广义总变差距离的使用使得对漂移系数中分布依赖性的稳健分析成为可能。