研究动机与目标

提出的方法

将问题表述为 $D^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ 中的分布弱解，要求测试函数属于 $C_c^\infty(\mathbb{R}^N)$。
在扩张球 $B(0,R_n)$ 上构造逼近问题序列，其中 $u_n$ 在 $B(0,R_n)$ 内求解并在外部恒为零。
利用山路定理与有界 Palais-Smale 序列，构造 $D^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ 中的弱极限 $u$。
应用紧嵌入 $L^{p^*_s}(K) \hookrightarrow L^r(K)$（$K$ 有界且 $r < p^*_s$），实现 $u_n \to u$ 几乎处处收敛。
通过对偶配对与控制收敛定理，在弱形式中取极限，确保含 $\varphi(x)f(u_n)\psi$ 的右侧收敛。
利用条件 $(f_3)$ 控制差值 $f(s)s - pF(s)$，通过 $Cs^m$（$m < p$）实现一致可积性与紧致性。

该问题在 $L^{Np/(N-sp)}(\mathbb{R}^N) \setminus \{0\}$ 中存在非平凡非负分布解 $u$，满足 $u \geq 0$ 且 $\|u\|_{D^{s,p}} < \infty$。
解满足弱形式：$\int_{\mathbb{R}^{2N}} \frac{|u(x)-u(y)|^{p-2}(u(x)-u(y)) (\psi(x)-\psi(y))}{|x-y|^{N+sp}} \, dx\,dy = \int_{\mathbb{R}^N} \varphi(x)f(u)\psi \, dx$ 对所有 $\psi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^N)$ 成立。
解是非平凡的（$u \not\equiv 0$），因为山路水平极限 $c_n \to c > 0$，与 $u \equiv 0$ 矛盾。
结果在权函数条件 $(W)$ 下成立：$\sup_{\mathbb{R}^N \setminus \Omega} \varphi \leq 0 < \inf_\omega \varphi$，其中 $\omega \subset \Omega$ 为有界集。
即使在 $p=2$ 的线性情形下，该结果亦为新成果，证明了在 $D^{s,2}(\mathbb{R}^N)$ 中对 $1 < q < 2^*_s - 1$ 存在非负解。
当 $f$ 满足 $f(s) \sim s^q$ 且 $p-1 < q < p^*_s - 1$ 或 $0 \leq q < p-1$ 时，若满足适当的增长与凸性条件，该方法依然适用。