[论文解读] On greedy algorithms with respect to generalized Walsh system

Sergo A. Episkoposian|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2011

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文通过构造一个 $ f \in L^1[0,1] $，证明了阶数 $ a \geq 2 $ 的广义 Walsh 系统在 $ L^1[0,1] $ 中不是准贪婪基，其原因是针对该系统，贪婪算法在 $ L^1 $-范数下不收敛。证明依赖于构造具有特定选择的傅里叶系数的函数，并分析连续贪婪逼近之间的差的 $ L^1 $-范数，表明由于广义 Walsh Dirichlet 核的增长，该范数始终保持远离零。

ABSTRACT

In this paper we proof that there exists a function f(x) belongs to L^1[0,1] such that a greedy algorithm with regard to generalized Walsh system does not converge to f(x) in L^1[0,1] norm, i.e. the generalized Walsh system is not a quasi-greedy basis in its linear span L^1[0,1].

研究动机与目标

• 研究广义 Walsh 系统在 $ L^1[0,1] $ 中贪婪算法的收敛性。
• 确定广义 Walsh 系统在其线性张成空间中是否构成 $ L^1[0,1] $ 中的准贪婪基。
• 构造一个特定函数 $ f \in L^1[0,1] $，使得其在广义 Walsh 基下的贪婪逼近在 $ L^1 $-范数下不收敛。
• 证明连续贪婪逼近之间差的 $ L^1 $-范数始终保持远离零，从而表明不收敛。

提出的方法

• 构造一个 $ f \in L^1[0,1] $，其傅里叶系数定义为：在特定 dyadic 区间内的指标 $ i $，有 $ a_i(f) = \frac{1}{i^2} + \frac{1}{2^i} $。
• 将广义 Walsh 系统 $ \Psi_a $ 下的贪婪逼近 $ G_m(f, \Psi_a) $ 定义为 $ f $ 的绝对值最大的 $ m $ 个系数之和。
• 利用广义 Walsh 系统的 Dirichlet 核 $ D_m(x) $，分析差的 $ L^1 $-范数 $ \|G_{n_k}(f, \Psi_a) - G_{n_{k+1}}(f, \Psi_a)\|_{L^1} $。
• 使用引理，建立一个序列 $ \{n_k\} $，使得 $ \int_0^1 |D_{n_k}(x)| dx > \frac{1}{2a} \log_a n_k $，从而确保范数以对数方式增长。
• 将差的 $ L^1 $-范数从下方有界，下界为 $ \frac{1}{4a} - 2^{-a^{(k-1)^2 + 1}} $，当 $ k $ 足够大时，该下界远离零。
• 得出结论：贪婪逼近序列在 $ L^1[0,1] $ 中不构成柯西序列，因此不收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 $ f \in L^1[0,1] $，广义 Walsh 系统下的贪婪算法是否在 $ L^1[0,1] $-范数下收敛？
• RQ2 阶数 $ a \geq 2 $ 的广义 Walsh 系统是否是 $ L^1[0,1] $ 中的准贪婪基？
• RQ3 能否构造一个 $ f \in L^1[0,1] $，使得其在广义 Walsh 基下的贪婪逼近在 $ L^1 $-范数下不收敛？
• RQ4 广义 Walsh Dirichlet 核的 $ L^1 $-范数在贪婪算法收敛性行为中起什么作用？

主要发现

• 存在一个 $ f \in L^1[0,1] $，使得广义 Walsh 系统下的贪婪算法在 $ L^1[0,1] $-范数下不收敛到 $ f $。
• 阶数 $ a \geq 2 $ 的广义 Walsh 系统 $ \Psi_a $ 在其线性张成空间中不是 $ L^1[0,1] $ 中的准贪婪基。
• 连续贪婪逼近之间差的 $ L^1 $-范数对于无穷多个 $ k $，始终有正的下界 $ C_1 > 0 $，具体而言，当 $ k \geq 4 $ 时，有 $ C_1 \geq \frac{1}{4a} $。
• 发散源于广义 Walsh Dirichlet 核 $ D_m(x) $ 的 $ L^1 $-范数的对数增长，该性质用于对逼近误差进行下界估计。
• 通过构造系数为 $ \frac{1}{k^2} + \frac{1}{2^i} $ 的 $ f $，确保贪婪选择在 Dirichlet 核较大的区间中捕获了显著的 $ L^1 $-质量。
• 贪婪逼近差的 $ L^1 $-范数下界为 $ \frac{1}{2a k^2} \log_a m_k - 2^{-a^{(k-1)^2 + 1}} $，且当 $ k \to \infty $ 时，该表达式收敛于 $ \frac{1}{4a} $，从而证明了不收敛。